三次方程式的根式解

三次方程式的根式解
臺北市立西松高中數學科蘇惠玉老師

1545 年，義大利的一位醫生兼數學家卡丹諾(Gerolamo Cardano, 1501-1576)出版了《大技術Ars Magna or The Rules of Algebra》，首次向世人展示了如何求解三次與四次方程式的完整過程。然而三次方程式的根式解，如同許多數學上的偉大成就一般，無法只歸功於卡丹諾一人，甚至在其公開的過程中，為了優先權之爭，還引起公開挑戰、言語攻訐、陰謀策劃等等，算是數學史發展上相當具有社會史色彩的一頁。

在 1510 年到 1515 年之間的某個時刻，波隆納大學的數學家費羅(Ferro)首先提出了缺二次項的 \(x^3+cx=d\) 的三次方程式代數解，然而他並沒有公開它的解法反而嚴加保密，直到 1526 年他去世時，才將寫有解法的論文傳給它的女婿納夫與一個學生安東尼奧‧馬立亞‧費爾。

在那個時代，數學上的學術職位是依據地位和名望來安排的，而地位和名望則來自於公開挑戰中的勝利，因此數學家所掌握到的數學知識就像武功密笈一般，被當成自己的致勝絕招而不輕易示人。費爾當時想憑藉著解三次方程式的才能成為威尼斯的一名數學老師。然而當時卻盛傳另一位數學教師塔爾塔利亞（Tartaglia, 意為口吃之人，原名為尼柯洛‧馮塔納）也會解三次方程式，因此向塔爾塔利亞提出挑戰，塔爾塔利亞大獲全勝，因此戰而聲名大噪。

卡丹諾雖然身為醫生，卻對許多知識領域有濃厚的興趣，尤其在數學方面，更有其過人的天賦。當聽說塔爾塔利亞戰勝費爾之後，卡丹諾曾請求塔爾塔利亞允許他在即將出版的書中披露塔爾塔利亞的三次方程式解法，他承諾，這種解法將完全歸功於塔爾塔利亞。

塔爾塔利亞最初不同意他的請求，但是卡丹諾不屈不撓地懇求，威脅利誘，最後利用他的贊助者瓦斯托侯爵的名義說動了塔爾塔利亞跟他會面，塔爾塔利亞最後終於給出他的「解法規則」，還是以曖昧不明的詩句形式表示，同時也沒有給卡丹諾任何對解法的實證。之後卡丹諾在助理費拉里的幫助下，花了六年的時間，揣摩出那些詩句的意思，又擴展他們的含義，將十三種類型的三次方程式的解完全呈現，最後幾章同時也包含了在費拉里幫助下所得到的四次方程式解。

在卡丹諾的書出版後第二年，憤怒的塔爾塔利亞出版了《新問題與發明》，前半部包含他那些年理發現的問題與解法，後半部卻完全用來批評卡丹諾和他的《大技術》，不僅批評卡丹諾的數學能力，並且指控他剽竊。他在書裡面說卡丹諾給過他承諾：「我按著神聖的福音書起誓，以一個紳士的名義保證，不僅在你告訴我你的發現之後，永不出版它；而且我以一個真正的基督徒的名義承諾和保證把它們當成密碼一樣藏在心裡，使得在我死後，沒有人能夠理解它們。」然而這段話遭到卡丹諾助理費拉里的嚴正否認與駁斥。

1547 年二月，費拉里出面回應塔爾塔利亞的攻擊與挑釁，這個公開論戰的細節不可知，只知結果費拉里宣布獲勝，塔爾塔利亞失去的教師的職位。然而心懷憤恨的塔爾塔利亞，最終還是使盡一切手段與陰謀，讓卡丹諾遭到驅逐、破產、入獄，最後隱姓埋名過完一生。這段歷史無論誰是誰非，每個人心中自有論斷，下面僅就卡丹諾的方法解釋三次方程式的根式解。

卡丹諾在《大技術Ars Magna or The Rules of Algebra》中的第十一章到第二十三章，詳細列出共十三種類型的三次方程式解法，並以幾何的形式加以驗證。儘管卡丹諾以數值係數為例求解，但是解法過程卻具有一般性，因此如同卡丹諾所說的，可建立解同類型方程式的一般「規則」。

我們先以缺了二次方項的不完全三次方程式 \(x^3+cx=d\) 為例來說明，先分別求兩個數 \(u,v\)，卡丹諾以幾何證明告訴我們，

當 \(x = \sqrt[3]{u} – \sqrt[3]{v}\)，因為

\(\begin{array}{ll}{x^3} = {(\sqrt[3]{u} – \sqrt[3]{v})^3} &= (u – v) – 3 \cdot \sqrt[3]{u} \cdot \sqrt[3]{v}(\sqrt[3]{u} – \sqrt[3]{v}) \\&= (u – v) – 3 \cdot \sqrt[3]{u} \cdot \sqrt[3]{v} \cdot x\end{array}\)

即 \({x^3} + 3 \cdot \sqrt[3]{u} \cdot \sqrt[3]{v} \cdot x = u – v\)，比較係數得 \(u-v=d\)，\(\displaystyle{uv}= {(\frac{c}{3})^3}\)

也就是說先求兩個數 \(u,v\)，使得 \(u-v=d\)，\(\displaystyle{uv}= {(\frac{c}{3})^3}\) 。現在解聯立方程式

\(\left\{ \begin{array}{l} u – v = d\\ \displaystyle uv = {(\frac{c}{3})^3} \end{array} \right.\)

將 \(\displaystyle{v} = {(\frac{c}{3})^3} \cdot \frac{1}{u}\) 代入，得到 \(\displaystyle{u} – {(\frac{c}{3})^3} \cdot \frac{1}{u} = d\)，亦即得到 \(u\) 的二次方程式

\(\displaystyle {u^2} – {(\frac{c}{3})^3} = du\)

解此二次方程式，得 \(\displaystyle{u}= \sqrt {{{(\frac{d}{2})}^2}+{{(\frac{c}{3})}^3}}+\frac{d}{2}\)，

因此 \(\displaystyle{v} = \sqrt {{{(\frac{d}{2})}^2} + {{(\frac{c}{3})}^3}}- \frac{d}{2}\)，代回 \(x = \sqrt[3]{u} – \sqrt[3]{v}\)

因此得  \(\displaystyle{x} = \sqrt[3]{{\sqrt {{{(\frac{d}{2})}^2} + {{(\frac{c}{3})}^3}} + \frac{d}{2}}} – \sqrt[3]{{\sqrt {{{(\frac{d}{2})}^2} + {{(\frac{c}{3})}^3}}- \frac{d}{2}}}\)。

以 \(x^3+6x=20\) 為例， \(\displaystyle\frac{d}{2} = 10\)，\(\displaystyle\frac{c}{3} = 2\)，

因此 \(\displaystyle{x} = \sqrt[3]{{\sqrt {108}+ 10}} – \sqrt[3]{{\sqrt {108}- 10}}\)。

在當時，雖然代數問題不再源自幾何背景，然而數學家們仍然習慣將未知數的一次方、平方和立方當成是幾何的線、面、體積，一個代數方程式也就表示了這些幾何量的加減運算。因此，對卡丹諾而言，在一個三次方程式中，每一項代表的都是體積，因此他在幾何的驗證過程中，取的是兩個立方體體積\((u,v)\)的差等於 \(d\)，而這兩個立方體邊長相乘等於 \(\displaystyle\frac{c}{3}\)，如此整個三次式才能考慮成都是體積的運算。

當時的數學家們，在齊次律的束縛之下，反而藉此之便，完成了三次方程式根式解的偉大成就。在完成了缺二次項的三次方程式解之後，卡丹諾告訴我們，針對任意的三次方程式，則可以利用變數變換，讓它缺少二次項。

如何作變數變換呢？先以二次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) 為例，我們知道

\(\displaystyle a{x^2}+bx+c= a{(x+\frac{b}{{2a}})^2}+\frac{{4ac – {b^2}}}{{4a}}\)

因此若令 \(\displaystyle{y} = x + \frac{b}{{2a}}\)，原先的方程式將可轉換成 \(\displaystyle{a{y^2}} + \frac{{4ac – {b^2}}}{{4a}} = 0\)，缺少了一次項後，\(y\) 的解即可輕易的求出，因此在二次方程式中，只要將 \(\displaystyle{x}= y – \frac{b}{{2a}}\) 代入，即可得到一個缺少一次項的二次方程式。

在任一個三次方程式 \(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0\) 中，則可以考慮 \(\displaystyle{x} = y – \frac{b}{{3a}}\) 代入，得

\(\displaystyle a{(y – \frac{b}{{3a}})^3} + b{(y – \frac{b}{{3a}})^2} + c(y – \frac{b}{{3a}}) + d = 0\)，將式子展開，得

\(\displaystyle(a{y^3} – b{y^2} + \frac{{{b^2}}}{{3a}}y – \frac{{{b^3}}}{{27{a^2}}}) + (b{y^2} – \frac{{2{b^2}}}{{3a}}y + \frac{{{b^3}}}{{9{a^2}}}) + c(y – \frac{b}{{3a}}) + d = 0\)

如此即可消去二次方項，得到一個缺項的不完全三次方程式之後，則可先以之前得到的公式得到 \(y\) 之解，然後代回即可得 \(x\) 了。

卡丹諾在本書中顯露的三次與四次方程式的解，除了沿襲希臘一貫以幾何思考代數問題的形式之外，更向我們顯露了一種解決數學問題的「策略」，卡丹諾和他的徒弟費拉里採取了一種將方程式轉換的化約式策略，即是將三次方程式求解問題轉換成二次方程式的求解。這種將高次降低成低一次的方法，充分運用的話，即可顯現數學以簡馭繁的精妙。

參考文獻

1. Cardano, G. Ars Magna or The Rules of Algebra, Translated by T. R. Witmer, New York: Dover Publications, INC.
2. 哈爾‧赫爾曼著，范偉譯（2009），《數學恩仇錄：數學史上的十大爭端》，台北：博雅書屋。
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4. Dunham, W. 著，林傑斌譯（1995），《天才之旅》，台北：牛頓出版社。
5. 洪萬生（2011），〈三次、四次方程解法：一個歷史的回顧〉，《HPM通訊》第十四卷第六期。