西方行列式的發展:柯西的研究 (The Development of Determinants in West: Cauchy’s Work)

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西方行列式的發展:柯西的研究
(The Development of Determinants in West: Cauchy’s Work)

國立臺南第一高級中學林倉億老師

連結:西方行列式的發展:范德蒙的研究

雖然今日譯作「行列式」的詞 “determinantem”(即英文的“determinant”)是首次出現在高斯 (Carl Friedrich Gauss, 1777-1855) 於1801年出版的《算術研究》(Disquisitiones Arithmeticae) 中,但高斯是把它當作是字面意思來使用,即「決定的因素」,用以表示多元高次式的「判別式」,這和今日「行列式」的意義並不相同。

到了1812年,柯西 (Augustin-Louis Cauchy, 1789-1857) 在提交給法蘭西學院 (Institut de France) 的第二篇論文中(1815年出版),使用“déterminan”(即英文的“determinant”)來表示今日所稱的「行列式」,換言之,柯西才是使用「行列式」名詞的第一人。

在介紹柯西的行列式研究之前,我們必須先說明柯西在1812年之前的數學知識背景。首先,函數在19世紀是數學研究的熱門主題,柯西也是熱衷於各式函數的研究,他後來還對何謂函數下了定義,該定義已經十分接近今日函數的定義。其次,柯西十分熟悉范德蒙 (Alexandre-Theophile Vandermonde, 1735-1796)在行列式方面的研究(范德蒙並沒有使用行列式這名稱),在他1812年的論文中,多次提到了范德蒙的研究。然而,范德蒙的論文只是在呈現一種新的符號及其操作(參閱本網站〈西方行列式的發展:范德蒙的研究〉一文),並沒有函數的內涵。所以,柯西所做的,就是從函數的觀點來定義行列式。

從柯西1812年的論文中可知,他對「交錯對稱函數」 (alternating symmetric function) 很感興趣。所謂對稱函數 (symmetric function) 就是將不同變數做位置的交換後,其值不變。例如 \(f({a_{1}},{a_{2}},{a_{3}}) = ({a_{2}} + {a_{1}})({a_{3}} + {a_{1}})({a_{3}} + {a_{2}})\) 就是對稱函數,無論 \(a_1,a_2,a_3\) 如何置換,函數值不變。柯西所稱的「交錯對稱函數」則是置換變數後,函數值不變或是差個負號,例如 \(f({a_{1}},{a_{2}},{a_{3}}) = ({a_{2}} – {a_{1}})({a_{3}} – {a_{1}})({a_{3}} – {a_{2}})\)、\(f({a_{1}},{a_{2}},{a_{3}}) = {a_{1}}{a_{2}}{a_{3}}({a_{2}} – {a_{1}})({a_{3}} – {a_{1}})({a_{3}} – {a_{2}})\)就是柯西感興趣的「交錯對稱函數」。

柯西就是從交錯對稱函數的觀點出發來定義行列式,把行列式視為由一組數對所組成的函數。柯西的做法,在意義上與前人有很大的不同。舉范德蒙作對比,雖然范德蒙首先將行列式從方程組的係數中脫離出來,成為單獨研究的對象,但范德蒙最終的目的還是在於表示方程組的解(參閱本網站〈西方行列式的發展:范德蒙的研究〉一文)。

至於柯西,則是將行列式又往前推了一大步,把它獨立置於函數的領域之中,徹底切斷它和方程組相連的臍帶,奠定了行列式理論研究的基礎。雖然柯西定義的行列式本質上和今日的行列式相同,但他定義的方式頗為複雜,而且,老實說,還挺奇妙的!筆者在此僅以三階為例,說明柯西的定義方式。

首先,\(a_1,a_2,a_3\) 代表三個不同的數,定義函數 \(S( \pm {a_{1}}^1{a_{2}}^2{a_{3}}^3)\):

\(S( \pm {a_{1}}^1{a_{2}}^2{a_{3}}^3) = {a_{1}}{a_{2}}{a_{3}}({a_{2}} – {a_{1}})({a_{3}} – {a_{1}})({a_{3}} – {a_{2}})\)

若我們將等號的右邊乘開,整理可得:

\(\begin{array}{ll}S( \pm {a_{1}}^1{a_{2}}^2{a_{3}}^3) &= {a_{1}}{a_{2}}^2{a_{3}}^3 + {a_{2}}{a_{3}}^2{a_{1}}^3 + {a_{3}}{a_{1}}^2{a_{2}}^3 \\&- {a_{1}}{a_{3}}^2{a_{2}}^3 – {a_{3}}{a_{2}}^2{a_{1}}^3 – {a_{2}}{a_{1}}^2{a_{3}}^3\end{array}\)

接下來則是最神奇的一步了:

把每一個指數都改寫成第二個下標,即 \(a_i^j\) 改寫成 \(a_{i,j}\),就會得到新函數

\(\begin{array}{ll}S( \pm {a_{1,1}}\,{a_{2,2}}\,{a_{3,3}}) &= {a_{1,1}}{a_{2,2}}{a_{3,3}} + {a_{2,1}}{a_{3,2}}{a_{1,3}} + {a_{3,1}}{a_{1,2}}{a_{2,3}}\\&-{a_{1,1}}{a_{3,2}}{a_{2,3}} – {a_{3,1}}{a_{2,2}}{a_{1,3}} – {a_{2,1}}{a_{1,2}}{a_{3,3}}\end{array}\)

柯西就將新函數 \(S( \pm {a_{1,1}}{a_{2,2}}{a_{3,3}})\) 稱做「行列式」(déterminan),

並補充說明 \(a_{1,1},a_{1,2},\cdots,a_{3,3}\) 這 \(9\) 項可排列成 \(\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{\,1,1}}}&{{a_{\,1,2}}}&{{a_{\,1,3}}}\\ {{a_{\,2,1}}}&{{a_{\,2,2}}}&{{a_{\,2,3}}}\\ {{a_{\,3,1}}}&{{a_{\,3,2}}}&{{a_{\,3,3}}} \end{array}\)。

至此,讀者心中一定有一個大大的疑問:「這是在幹嘛?」

請暫時擱下心中的疑惑,讓我們將 \(\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{\,1,1}}}&{{a_{\,1,2}}}&{{a_{\,1,3}}}\\ {{a_{\,2,1}}}&{{a_{\,2,2}}}&{{a_{\,2,3}}}\\ {{a_{\,3,1}}}&{{a_{\,3,2}}}&{{a_{\,3,3}}} \end{array}\) 的兩側都加上一直線段,

然後取代函數符號 \(S( \pm {a_{1,1}}{a_{2,2}}{a_{3,3}})\),就會得到:

\(\begin{array}{ll}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{1,1}}}&{{a_{1,2}}}&{{a_{1,3}}}\\ {{a_{2,1}}}&{{a_{2,2}}}&{{a_{2,3}}}\\ {{a_{3,1}}}&{{a_{3,2}}}&{{a_{3,3}}} \end{array}} \right| &= {a_{1,1}}{a_{2,2}}{a_{3,3}} + {a_{2,1}}{a_{3,2}}{a_{1,3}} + {a_{3,1}}{a_{1,2}}{a_{2,3}} \\&- {a_{1,1}}{a_{3,2}}{a_{2,3}} – {a_{3,1}}{a_{2,2}}{a_{1,3}} – {a_{2,1}}{a_{1,2}}{a_{2,3}}\end{array}\)

這不就是今日的行列式嗎?為了證明筆者沒有在「唬弄」大家,圖一就是柯西論文的原貌,請各位看倌自行瞧瞧。

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圖一

看完上圖後,讀者一定會好奇那 \(a_{1,1}\)、\(a_{1,2}\)、\(\cdots\)、\(a_{3,3}\) 與原來的 \(a_1\)、\(a_2\)、\(a_3\) 有何關係?答案是:沒有關係!\(a_{1,1}\)、\(a_{1,2}\)、\(\cdots\)、\(a_{3,3}\) 就是 \(9\) 個數,用今日的術語來說,柯西定義了一個 \(\underbrace {\Re\times\Re\times\cdots\times\Re}_{9\Re}\to \Re\) 的新函數。

筆者一開始很難接受柯西這樣子的定義方式,但後來想想,當我們在教室黑板上寫出行列式的定義時,學生應該就是「這是在幹嘛?」這種感覺吧!

最後,關於柯西的定義,筆者再補充說明幾點。其一是當行列式被看成函數時,接下來就可以考慮函數的運算性質,所以,柯西繼續在其論文中探討這新函數的運算性質,得到了今日所稱的「乘法定理」與「展開定理」,這兩者與今日高中數學並沒有直接關連,在此就不多作說明。其二,雖然柯西在定義行列式時並沒有考慮方程組的係數,但他仍不忘用他的新函數來呈現克拉瑪公式。其三,柯西創新之處在於將雙足碼並列寫在右下方,並將行列式排列成 \(n\times n\) 的方形,這兩者都被後人所繼承,直至今日。1841年凱萊 (Arthur Cayley, 1821-1895) 在 \(n\times n\) 的方形兩側加上直線段後,就成為今日行列式的符號了。

連結:西方行列式的發展:結語

參考文獻:

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