自旋

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自旋 (Spin)
國立臺灣大學物理學系99級 沈于晴

日常生活中會看到 $$\mathrm{spin}$$ 這個字應該是在使用洗衣機脫水功能的時候吧!從字面上看起來,「自旋」似乎有「自轉」的意思。最初提出自旋概念之時,就是把電子當成如同地球般在自轉的一顆球。不過很快的科學家們便發現這種模型並不好。

現在物理學家們知道自旋是粒子內在(intrinsic)的性質。不論這顆粒子在任何位置,或者你對它外加任何的電場、磁場,它的自旋仍舊保持不變,並不會像地球的自轉有機會變快或變慢。自旋還有一個性質:它是個量子化的物理量,我們用自旋量子數 $$s$$ 來表示。$$s$$ 的值只允許為 $$\frac{1}{2}$$ 的整數倍。例如:每顆電子的自旋量子數都是 $$\frac{1}{2}$$。

講了這麼多,好像還是不知道自旋到底是甚麼東西。自旋代表粒子的角動量,或者更精確的說:代表粒子角動量的一部分。就像地球的運動可以分成公轉和自轉。

在量子理論裡,粒子的角動量也分成軌道角動量與自旋角動量。用波動力學解釋氫原子光譜時,用了$$n$$、$$l$$、$$m$$ 三個量子數,$$l$$ 和 $$m$$ 代表的就是軌道角動量。軌道角動量會因為在不同的量子態而有不同,而自旋角動量正如前面所說,是不會變的。不過自旋是在量子力學中才有的概念,所以還是把地球自轉這種比喻給忘了吧。

遺憾的是,我們並無法像古典力學那樣同時測量到自旋角動量三個分量的值。這並不是因為我們的技術太差,而是大自然本身不讓我們測量。

這是由於測不準原理(uncertainty principle)。因為角動量是向量,要知道它的值,必須要同時知道 $$x$$、$$y$$、$$z$$ 三個分量。但因為測不準原理的關係,我們無法同時準確測量任何其中兩個分量。

幸好,我們還是能夠測量其中一個分量。習慣上,我們把 $$z$$ 方向定成我們想測量的方向。自旋角動量在 $$z$$ 方向的大小也是量子化的。若粒子的自旋量子數為 $$s$$,那麼 $$z$$ 方向的自旋角動量只會是 $$\hbar$$ 的 $$s$$、$$s-1$$、$$s-2$$、$$\cdots$$、$$-s$$ 倍,共有 $$2s+1$$ 種可能。$$\hbar$$ 是約化的蒲朗克常數(reduced Planck constant),其值為 $$1.055\times 10^{-34}$$ 焦耳-秒,單位跟角動量一樣。

再次拿電子當作例子,電子的自旋量子數是 $$\frac{1}{2}$$,它在 $$z$$ 方向的自旋角動量可以是 $$\frac{1}{2}\hbar$$ 或是 $$-\frac{1}{2}\hbar$$。前者稱作上自旋(spin up),後者則是下自旋(spin down)。

Fig 1-Stern-Gerlach Animation

圖1. Stern-Gerlach實驗裝置圖。帶有上自旋以及下自旋的原子會被不均勻磁場分開(靠兩側的原子分離效果不彰,這是因為磁場的不均勻性在兩端較不明顯)。但根據量子理論,我們無法知道粒子運動的確切軌跡,所以這並不是好的示意圖。(陳義裕繪)

根據古典電磁學,帶電的物體旋轉時,會讓這個物體產生磁偶極矩。換句話說,可以把這個又帶電又旋轉當成一顆小磁鐵。在量子理論中,粒子的自旋也讓粒子帶有磁偶極矩。不過用古典理論與量子理論計算所得到的磁偶極矩不一樣,實驗結果則是與量子理論吻合。

自旋讓粒子帶有磁偶極矩,有了磁偶極矩便會受到磁場影響。這讓我們有辦法做實驗來觀察一些自旋造成的現象。1922年,Otto Stern 與 Walther Gerlach 做了個實驗,可以驗證自旋的 $$z$$ 方向分量是量子化,雖然那個時候物理學家們尚無自旋的概念(此實驗其實是要驗證舊量子論中的一個錯誤理論)。

Fig 2-Stern-Gerlach Glass Plate

圖2. 自旋 $$z$$ 分量為量子化的Stern-Gerlach實驗結果 (陳義裕繪)

他們讓一坨銀原子通過磁場後打在玻片上(磁場必須是不均勻的,這樣才能將帶有不同磁矩的原子有效分離開來)。把原子前進的方向定為 $$y$$ 方向,磁場的方向定為 $$z$$ 方向 (如圖1.,但這並不是個好的示意圖,因為根據量子理論,我們無法知道粒子運動的確切軌跡)。原子到達玻片時會在玻片上留下痕跡。實驗結果玻片上出現的痕跡是離散的(如圖2.),表示自旋角動量的 $$z$$ 分量確實是量子化的。自旋量子數為 $$s$$ 的原子會產生 $$2s+1$$ 條線。若 $$z$$ 方向的角動量可以是任意值,那麼玻片上看到的痕跡應該要是均勻分布成一大片(如圖3.)。

Fig 3-Classical Prediction Glass Plate

圖3. 若自旋z分量不是量子化的Stern-Gerlach實驗結果 (陳義裕繪)

還有許多現象與自旋有關,例如天文學上的 $$21$$ 公分譜線就是由氫原子中的電子與原子核自旋造成。用在醫學上的核磁共振也是利用原子核的自旋。


參考文獻

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  2. Shankar, R. (1994). Principles of Quantum Mechanics. New York : Plenum Press.
  3. Weimberg, S. (2013). Lectures on Quantum Mechanics. Cambridge ; New York : Cambridge University Press.
  4. 葉偉文(譯) (民87)。愛麗絲漫遊量子奇境(原作者 Gilmore, R) 臺北市 : 天下遠見出版(原出版年:1995)
  5. 維基百科, 自旋http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E6%97%8B
  6. 維基百科, 斯特恩-革拉赫實驗 http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%96%AF%E7%89%B9%E6%81%A9-%E9%9D%A9%E6%8B%89%E8%B5%AB%E5%AF%A6%E9%A9%97
  7. 維基百科, Spin (physics)  http://en.wikipedia.org/wiki/Spin_(physics)
  8. 維基百科, Stern–Gerlach_experiment http://en.wikipedia.org/wiki/Stern%E2%80%93Gerlach_experiment

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