認識拱壩以及其簡易分析

認識拱壩以及其簡易分析(Introduction and simple analysis of arch dams)
國立臺灣大學土木工程學系四年級 陳鵬元

儘管年平均降雨量高達 2500 毫米而高居全球排名第 13 名，水資源看似不虞匱乏，台灣卻是全球排名第十八缺水的國家。這是因為台灣的地勢陡峭，使得河川的河床比降極大，且因台灣東西狹長，河流又多為東西流向，使得河流短促，造成大部分的降水進入河流後都迅速流入海洋，無法有效儲存。再加上台灣的降雨時間較集中，無法一下儲存這麼龐大的水量，只能任由其流入海中。又因地狹人稠，導致台灣每人每年可分得的水資源大約只有 4000 立方公尺，僅約世界平均的五分之一。

解決上述狀況的方法，便是廣築水庫來儲水。因此在小小的台灣，我們就有百座以上的水庫。這些水庫給予人們的印象通常都是又厚又寬的笨重外觀，但是其中幾座水庫卻有著與眾不同的外觀，例如翡翠水庫、德基水庫以及谷關水庫（另有榮華壩，但其為攔沙壩）。相較於其他的水庫們，這些水庫有著薄而弧的優雅曲線，我們稱它們為「拱壩」(Arch dams)。

顧名思義，拱壩的外型呈現一水平拱形，凸面朝向上游，凹面朝向下游。那麼為什麼要將水壩建成拱形的呢？以下就讓我們簡短地介紹拱壩，並透過簡單的力學分析來解釋拱壩的力學原理。

圖一 翡翠水庫（臺北翡翠水庫管理局提供）

拱壩為混凝土壩，從水平面來看，其朝上游方向拱起，適合建造於具有陡峭且堅固山壁的峽谷中。由於相較於其他種類的水壩，拱壩的壩體較薄，故其所使用的混凝土量較少，可節省工程的材料用量並降低運送的難度。而依照壩體的外側弧線（凸起面）與內側弧線（凹入面）於不同高度下的圓心位置，拱壩可分為定心拱壩 (Constant-center arch dams) 與變心拱壩 (Variable-center arch dams) 兩大類（圖二）。

定心拱壩不管是拱的外側弧線或內側弧線的圓心皆在同一點上，且不同高度的弧線圓心相連會呈現一鉛垂的直線；而變心拱壩的弧線則會隨著壩的種類有不同圓心位置組合。

圖二 定心拱壩與變心拱壩（本文作者陳鵬元繪製）

拱形結構的優點可用拱橋來說明，由於其拱狀的結構，拱橋能夠將施加於其上方的載重以壓應力的形式順著本身的形狀將傳至兩側的基座（圖三）。也就是說，結構體本身受到的力主要為壓力，且最後會將這股壓力導向兩端的基礎。故只要有抗壓性能良好的材質與穩健的基座，拱橋可以乘載極大的重量而不損壞。

回到拱壩，混凝土即是抗壓性能良好的材質，再加上堅固的山壁作為拱形結構的基座，拱壩可以將水庫內存水對其所產生的推力以壓力的形式導向山壁，利用堅固的山壁抵抗推力，而由於拱壩本身主要受到的力為壓力，正好可以有效發揮混凝土的抗壓能力。

圖三 拱結構的應力分布（本文作者陳鵬元繪製）

以較單純的定心拱壩為例，我們可以粗略估計山壁所需承受的壓力以及為了承受壓力壩體所需的設計厚度。由於拱壩的設計相當的複雜，所以在此使用的是最簡化的拱壩分析。首先假設壩體所承受庫內水壓力之水平分量全部由拱作用來承擔，且由於對拱壩影響最主要的作用力為庫內的水壓力，故忽略其它的作用力不計。

接下來我們取水庫水面下深度 \(h\) 的水平拱壩切面來分析（請參考圖四），水面下深度 \(h\) 的水壓力 \(P\) 等於 \(\gamma\times h\)，其中 \(\gamma\) 為水的密度；\(t\) 為深度 \(h\) 下壩體的厚度；\(r\) 為壩體中心線距離弧線圓心的距離，即半徑；\(\theta\) 為壩體張開角度；\(R\) 為兩側山壁對壩體施加的反作用力；\(B\) 則為深度 \(h\) 下峽谷的寬度。

圖四 水平拱壩切面（本文作者陳鵬元繪製）

根據牛頓第二運動定律，為使壩體不移動，「庫內水壓力 \(P\) 施加於壩體的水流方向（\(Y\) 方向）分力的總和」會等於「兩側山壁施加於壩體的反作用力的水流方向（\(Y\) 方向）分立的總和」。

為簡化計算，我們將拱壩的弧線對切，僅先考慮右側半弧的水壓力。假設水壓力對壩體於深度處下任一位置的單位面積上垂直施力為 \(P\)，且其施力方向與水流方向（\(Y\) 方向）夾角為 \(\theta^*\) ，則其水流方向分力為  \(P\cos\theta^*\)；而單側岩壁對壩體施加的反作用力 \(R\) 的水流方向分力為 \(R\sin\frac{\theta}{2}\)（圖五）。此處不需考慮垂直於水流方向（\(X\) 方向）的分力，因為壩體的左半邊同樣也有此方向的分力，兩方將會抵消。

透過積分，我們可計算出半邊壩體在深度 \(h\) 時所受水壓力於水流方向的分力總和為 \(rP\sin\frac{\theta}{2}\)，即 \(r\gamma h\sin\frac{\theta}{2}\)，將壩體兩側所受的作用力加總後可得 \(2R\sin\frac{\theta}{2}=2r\gamma h\sin\frac{\theta}{2}\)，則 \(R=r\gamma h-(1)\)，即山壁所需承受的力。

假設壩體上垂直拱中心線的斷面上所受應力平均分佈，且壩體受最大壓力處為與山壁接觸面，則混凝土的容許壓應力 \(\sigma=\frac{R}{t}-(2)\)。最後綜合 \((1)\)、\((2)\) 兩式可得壩體厚度 \(t=\frac{r\gamma h}{\sigma}\)。

由此，我們可以整理出以下結論：1. 當水深越深（即壩體越接近底部處），由於所受到水壓增加，壩體的厚度亦須增加來應對。2. 在同一深度 \(h\) 下，若壩體拱弧線的半徑越大，所需要的壩體厚度就越高。

圖五 分力示意圖（本文作者陳鵬元繪製）

歸納以上的討論，拱壩的優點為：其充分發揮了混凝土抗壓的特性，並利用拱形的效應將大部分的水壓力導向兩側的山壁，由山壁承擔。相較於其他壩種，拱壩大大減少混凝土的用量，而製作混凝土會排放大量二氧化碳，故選擇拱壩可降低碳排放。但由於拱壩較為複雜，故混凝土壩體在施作時較不易控制品質，且設計難度也較高，這些則是拱壩的缺點，以下（表一）為拱壩的優缺點整理。

表一 拱壩優缺點（本文作者陳鵬元製）

拱壩主要是利用拱形的力學效應，使壩內存水對壩體作用的水壓力以壓應力的形式沿著壩體的形狀導向兩側堅固的山壁。相較於一般常見的重力壩以壩體本身的重量抵抗水壓力，這樣的方法可以減少混凝土的用量，除了外觀的變化性增加，同時也具有減碳的效果。

參考文獻

1. 臺灣真的缺水嗎？｜科學月刊。
   http://scimonth.blogspot.tw/2015/04/blog-post_83.html
2. 汪胡楨 (1947)。中國工程師手冊—水利類上冊第七篇。
3. Linsley, R. K., & Franzini, J. B. (1979). Water-resources engineering (Vol. 165). New York: McGraw-Hill.