包絡;包封

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包絡;包封 (Envelope)
國立臺灣大學物理學系 曾奕晴

包絡是甚麼?

Envelope 這個單字的中文語意為信封,而我們在物理學上用的 Envelope 和這個中文解釋有相似之處,都是把「物質限制在一個範圍內」的表示,在物理學及工程上包絡的定義為,一條可以描繪出波傳遞極值的圓滑曲線,如圖一所示。當有一道波在空間中傳遞時,我們分別將它的波峰和波谷連成兩條圓滑的曲線,它們的名稱分別就是上部包絡 (upper envelope) 以及下部包絡 (lower envelope)。

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圖一、包絡示意圖,其中藍線為穩定傳送之正弦波,紅色虛線部份即為包絡。(本文作者曾奕晴繪)

藉由包絡的定義我們可以知道,它可以幫助我們用來描述一個震盪訊號的振幅的變化,以圖一為例,它描述的就是一個穩定的正弦波在空間中傳遞,只是振幅受到上下部包絡的限制,隨其變化。而我們也可以進一步將包絡寫成函數,它可能是時間、空間的函數,或是任何其它可能的變因。

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圖二、包絡及波包示意圖,綠色線段為波包的部份,而紅色線段則是包絡。(本文作者曾奕晴繪)

而有另一個名詞和包絡是相對應的,就是所謂的波包 (wave packet),波包及包絡的示意圖可見圖二,綠色線段部份的波被包成一團一團的,我們就稱為波包,它是指波動在空間中會被侷限在一個小範圍,在主要震盪處以外的其它空間位置振幅都非常小,紅色線段部份則是包絡。我們可以藉由包絡是否隨著時間改變,來區分這個波有無色散情形之發生,保持不變者代表沒有色散產生;隨時間改變者代表有色散產生。

以下我們將介紹兩個在生活中常見的包絡應用:拍頻以及繞射條紋。

常見包絡的應用一:拍頻

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圖三、拍頻示意圖,藍色及綠色線段為兩道具有微小波長差的入射波,疊合之後即產生拍頻。拍頻的包絡方程式和原入射波的頻率、週期相關。(本文作者曾奕晴繪)

拍頻是由兩個頻率、波長相近的波所疊合而成,其示意圖可見圖三,藍色線段和綠色線段代表兩道具有微小波長差的入射波,兩道波在疊加之後,因為部份產生建設性干涉;部份產生相消性干涉,在疊加後的波形顯示出類似波包的情形,我們稱為拍頻,即圖三所標示之紅色線段。兩波疊加的表示可由下列方程式表示:

$$\displaystyle F(x,t)=\sin[2\pi\left(\frac{x}{\lambda-\Delta\lambda}-(f+\Delta f)t\right)]+\sin[2\pi\left(\frac{x}{\lambda+\Delta\lambda}-(f-\Delta f)t\right)]$$

上式中 $$\lambda$$ 為波長、$$f$$ 為頻率,這時候可近似疊加狀態為下列方程式:

$$\displaystyle F(x,t)\sim 2\cos\left[2\pi\left(\frac{x}{\lambda_{mod}}-(\Delta f)t\right)\right]\cdot\sin\left[2\pi\left(\frac{x}{\lambda}-ft\right)\right]$$

其中 $$\lambda_{mod}$$ 為 $$\lambda^2/\Delta \lambda$$。

由上式可知,拍頻包絡的方程式和原疊加波的頻率、波長有關(餘弦波項即為包絡之波動方程式),所以我們可以藉由觀測包絡的傳遞函數,來得知兩個原疊加波的訊息。

拍頻被廣泛的應用在樂器的調音上,當我們同時聽到兩個頻率相差微小的聲音時,會覺得疊加起來的聲音聽起來「抖抖的」,這是因為兩個波疊加產生了拍頻,拍頻的包絡所代表的就是疊加波振幅的大小,所以拍頻聽起來的音量會隨著時間忽大忽小,聽起來聲音就會「抖抖的」,調音師藉由拍頻這項特性,來調整樂器的頻率,直到拍頻不出現,也就是兩個聲音頻率完全吻合為止。

常見包絡的應用二:繞射條紋

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圖四、單狹縫及多狹縫繞射強度分布圖。(本文作者曾奕晴繪)

多狹縫繞射的干涉條紋,其包絡由全部的多狹縫所近似的單狹縫所決定。一如以往,包絡的形狀代表的就是強度的分布,單狹縫繞射所決定的包絡呈現中央強度大,外側強度快速下降的趨勢,這也就是為什麼我們在觀察雙狹縫干涉時,常會觀察到,越高階的干涉條紋其亮度往往快速衰減。從包絡的函數分析,就可以得知許多波函數的強度分布情形。


參考文獻

  1. 衍射|維基百科。https://zh.wikipedia.org/wiki/衍射
  2. Interference (wave propagation) — Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Interference_(wave_propagation)

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