伽利略變換

伽利略變換 (Galilean transformation)
國立臺灣大學物理學系 林惟淨

在物理學發展的過程中，「相對論」(Relativity) 從很早以來就是一個重要的主題，它探討事件 (Event) 發生的時間與地點、任兩個事件在時間和空間的距離，並處理（進行相對運動的）不同座標系之間測量結果的轉換。

早在 1632 年伽利略便在他的《關於托勒密和哥白尼兩大世界體系的對話》中提到下面的一段話（節錄自《愛因斯坦是怎樣創建相對論的》p.31）：「把你和一些朋友關在一條大船甲板下的主艙裡，讓你們帶著幾隻蒼蠅、蝴蝶和小飛蟲，艙內放一隻水盆，裡面有幾條魚，然後掛上一個水瓶，讓水一滴一滴地滴到下面的一個寬口罐裡。船停著不動時，你留神觀察，小飛蟲都以等速向艙內各方向飛行，魚向各方向隨意游動，水滴落入下面的罐中。你把任何東西扔給你的朋友時，只要距離相等，向這一方向不比向另一方向更用力……再讓船以任何速度前進，只要運動是均速，也不左右擺動，你將發現，所有上述現象絲毫沒有變化……」

這段看似單純由許多觀察結果所組成的文字，包含著後人發展出的幾個重要物理概念：你是一個觀察者，「水滴到罐子裡」、「小飛蟲們在運動」就是你觀察的正在發生的「事件」；「你和朋友搭乘的船」就是觀察者所處在的「座標系」(Coordinate system)；當船「均速、不左右擺動」前進時，船是一個在做等速運動的「慣性座標系」(Inertial coordinate system)；當船靜止不動和等速運動時你所觀察到事件的座標並無二致，代表了慣性座標中的觀察者並不能察覺自己所處的座標系有沒有在移動（就像坐在等速前進的列車中你會覺得自己沒有在移動一樣）。

圖一、伽利略變換。（圖片來源：本文作者林惟淨繪）

然而現在，我們假想你又有另外一個朋友站在陸地上的定點，在觀察這些你正在看的事件。這個朋友就代表了另外一個慣性座標系（陸地），若船在移動的話，我們說陸地和船兩個座標系正在進行「等速相對運動」，這時，「水滴到罐子裡」、「小飛蟲們在運動」這些事件在陸地這個座標系的座標卻會和你所觀察到的座標不同，而我們想找出這兩者之間的轉換方法。在愛因斯坦發表狹義相對論之前，這個問題的答案便是伽利略變換 (Galilean transformation)。參照圖一，假設陸地的座標為 $$S$$，船的座標為 $$S’$$，船相對陸地在 $$x$$ 方向以 $$v$$ 的等速度前進，則在兩個座標系之間我們找到的四個座標關係稱為伽利略變換方程式：

$$\left\{\begin{matrix}x’ =& x-vt\\ y’ =& y\\ z’ =& z\\ t’ =& t\end{matrix}\right.$$

由此，只要我們知道其中一個座標系事件的座標、以及兩個座標系之間的相對速度，我們就可推得另一座標系中事件的座標。

然而當座標系之間的相對速度大到接近光速時，伽利略變換方程式將被勞倫茲變換 (Lorentz transformation) 方程式取代：

$$\left\{\begin{matrix}x’ =& \gamma(x-vt)\\ y’ =& y\\ z’ =& z\\ t’ =& \gamma(t-\frac{vx}{c^2})\end{matrix}\right.,\displaystyle \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}$$

其中 $$c$$ 是光速。在座標系之間的相對速度極低 $$(v\ll c)$$ 的情況下，勞倫茲變換可近似為伽利略變換。

參考文獻

1. 尤廣建（1996）。《愛因斯坦是怎樣創建相對論的》。臺北市：牛頓出版。
2. Halliday D., Resnick R., & Walker J. (2011). Principles of physics (9th ed.). Wiley.