巴斯卡定理

從二項式定理到多項式定理 (1)（From Binomial Theorem to Multinomial Theorem (1)）
臺北市立第一女子高級中學蘇俊鴻老師

國中時學到乘法公式 \({(x + y)^2} = {x^2} + 2xy + {y^2}\)，\({(x + y)^3} = {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3}\)，就在猜想 \({(x + y)^4},{(x + y)^5},\cdots,{(x + y)^n}\) 展開後的模樣。透過比對可看出 \((x+y)^n\) 的各項都是齊次，也就是說，展開的各項 \(x^ay^b\) 都會滿足 \(a+b=n\)。

因此，只要能掌握各項係數的規則，任意的自然數 \(n\)，我們便能將 \((x+y)^n\) 的各項依 \(x\) 或 \(y\) 的升冪或降冪排出。國中老師採用的方法是將巴斯卡三角形畫出(圖一)，一一對應，只要足夠耐心，就能達到任意的自然數 \(n\)。

圖一\(~~~\)巴斯卡三角形