Daily Archives: 2014/09/16

行列式的性質（Properties of Determinant）
國立臺南第一高級中學林倉億老師

連結：行列式的定義

在本文中，二階行列式的定義是 \(\left| { \begin{array}{*{20}{c}} {{a_{ 1}}}&{{b_{ 1}}}\\ {{a_{ 2}}}&{{b_{ 2}}} \end{array} } \right| = {a_{ 1}}{b_{ 2}} – {a_{ 2}}{b_{ 1}}\)，

三階行列式的定義則是

\(\left| { \begin{array}{*{20}{c}} {{a_{ 1}}}&{{b_{ 1}}}&{{c_{ 1}}}\\ {{a_{ 2}}}&{{b_{ 2}}}&{{c_{ 2}}}\\ {{a_{ 3}}}&{{b_{ 3}}}&{{c_{ 3}}} \end{array} } \right| = {a_{ 1}} \cdot \left| { \begin{array}{*{20}{c}} {{b_{ 2}}}&{{c_{ 2}}}\\ {{b_{ 3}}}&{{c_{ 3}}} \end{array} } \right| – {a_{ 2}} \cdot \left| { \begin{array}{*{20}{c}} {{b_{ 1}}}&{{c_{ 1}}}\\ {{b_{ 3}}}&{{c_{ 3}}} \end{array} } \right| + {a_{ 3}} \cdot \left| { \begin{array}{*{20}{c}} {{b_{ 1}}}&{{c_{ 1}}}\\ {{b_{ 2}}}&{{c_{ 2}}} \end{array} } \right| = {a_{ 1}}{b_{ 2}}{c_{ 3}} – {a_{ 1}}{b_{ 3}}{c_{ 2}} + {a_{ 2}}{b_{ 3}}{c_{ 1}} – {a_{ 2}}{b_{ 1}}{c_{ 3}} + {a_{ 3}}{b_{ 1}}{c_{ 2}} – {a_{ 3}}{b_{ 2}}{c_{ 1}}\) 

我們稱直的為行，由左而右依序是第1行、第2行、…；稱橫的為列，由上而下依序是第1列、第2列、…。利用定義，很容易可以推出下列二階與三階行列式性質，證明就略去。

行列式的定義 (Definitions of Determinant)
國立臺南第一高級中學林倉億老師

在高中數學課本中，對於二階與三階行列式，基本上都是直接給出操作型定義：

定義1：\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{1}}}&{{b_{1}}}\\ {{a_{2}}}&{{b_{2}}} \end{array}} \right| = {a_{1}}{b_{2}} – {a_{2}}{b_{1}}\)。

等號的左邊稱為二階行列式，等號的右邊稱為二階行列式的展開式，或稱為二階行列式的值。

定義2：\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{1}}}&{{b_{1}}}&{{c_{1}}}\\ {{a_{2}}}&{{b_{2}}}&{{c_{2}}}\\ {{a_{3}}}&{{b_{3}}}&{{c_{3}}} \end{array}} \right| = {a_{1}}{b_{2}}{c_{3}} + {a_{2}}{b_{3}}{c_{1}} + {a_{3}}{b_{1}}{c_{2}} – {a_{3}}{b_{2}}{c_{1}} – {a_{2}}{b_{1}}{c_{3}} – {a_{1}}{b_{3}}{c_{2}}\)

等號的左邊稱為三階行列式，等號的右邊稱為三階行列式的展開式，或稱為三階行列式的值。

然後再根據定義推導相關的運算性質，最後再介紹它們的應用。定義二其實很難記憶，因此一般教科書都會補充記憶的方法，就是將圖一或圖二中，紅線上的數乘積之和，減去藍線上的數乘積之和。

圖一

圖二