一題有趣的矩陣試題(An Interesting Question of Matrix)
一題有趣的矩陣試題(An Interesting Question of Matrix)
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師
「設 \(A=\begin{bmatrix} 1 &4\\3 & 2\end{bmatrix}\) ,且二階方陣 \(X\)、\(Y\) 滿足 \(X+Y=I\) 且 \(XY=O\),
其中 \(I=\begin{bmatrix} 1 &0\\0 & 1\end{bmatrix}\) 、 \(O=\begin{bmatrix} 0 &0\\0 & 0\end{bmatrix}\) 。若存在實數 \(a>b\) 使得 \(A=aX+bY\),
求 \(a\)、\(b\) 之值。」
上面這個題目曾多次出現在不同的考試之中(敘述略有出入),而無論是哪一份試卷,絕大多數的考生都是被考倒的。以下提供四種不同層次的解法,供讀者參考。
解法一:(努力計算)
\(\begin{cases} X+Y=I\\aX+bY=A\end{cases}\Rightarrow\) 解聯立得 \(\begin{cases} X=\frac{A-bI}{a-b}\\Y=\frac{A-aI}{b-a}\end{cases}\),因為 \(XY=O\),
故 \(\begin{bmatrix} 0 &0\\0 & 0\end{bmatrix}=\displaystyle\frac{1}{-(a-b)^2}\begin{bmatrix} 1-b &4\\3 & 2-b\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1-a & 4\\ 3 & 2-a\end{bmatrix}\Rightarrow b=3-a\)
代入 \((1-b)(1-a)+12=0\Rightarrow a^2-3a-10=0 \Rightarrow (a,b)=(5,-2) or (-2,5)\)
又 \(a>b\) ,故 \((a,b)=(5,-2)\) 。
上述解法就是將 \(X\)、\(Y\) 用 \(A\) 表示後,再利用 \(XY=O\) 解出 \(a\)、\(b\) 。
基本上都是在做計算,看不出此題背後的數學結構為何。