三角不等式

實數的三角不等式 (Triangle Inequality for Real Numbers)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師

若 \(a,b\) 為實數，\(\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a + b} \right|\)，“\(=\)”成立時，\(ab\ge 0\)。(此不等式可以利用三角形的兩邊之和大於第三邊來理解，因此，稱之為三角不等式。)

證明：

因為 \(\left| a \right| + \left| b \right| \ge 0,~\left| {a + b} \right| \ge 0\)，直接相減或相除無法順利運算，因此，考慮平方相減

\(\begin{array}{ll}{\left( {\left| a \right| + \left| b \right|} \right)^2} – {\left| {a + b} \right|^2} &= \left( {{{\left| a \right|}^2} + 2\left| a \right|\left| b \right| + {{\left| b \right|}^2}} \right) – {\left( {a + b} \right)^2}\\&= \left( {{a^2} + 2\left| {ab} \right| + {b^2}} \right) – ({a^2} + 2ab + {b^2})\\&= 2\left( {\left| {ab} \right| – ab} \right) \ge 0\end{array}\)

因此，\({\left( {\left| a \right| + \left| b \right|} \right)^2} \ge {\left| {a + b} \right|^2}\)，即 \(\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a + b} \right|\)

“\(=\)”成立時， 即 \(\left| {ab} \right| – ab = 0\)移項得 \(\left| {ab} \right| = ab\)，\(\therefore ab\ge 0\)。