對角方陣

從特徵值、特徵向量到凱萊─漢米爾頓定理、矩陣的對角化（From Eigenvalues and Eigenvectors to Cayley-Hamilton Theorem and the Matrix Diagonalization）
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師

特徵值與特徵向量

在〈矩陣乘法的限制及性質〉一文中，我們知道矩陣乘法的特殊性開啟了許多的可能性，比如說兩個均不為零方陣的同階方陣，相乘之後竟然可以是零方陣。接下來我們要看的是矩陣乘法的另一種重要應用，讓我們先從簡單的二階方陣看起。

給定方陣 \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&4\\ 3&2 \end{array}} \right]\)，哪些 \(2\times 1\) 階矩陣 \(X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{1}}}\\ {{x_{2}}} \end{array}} \right]\) 會滿足 \(A \cdot X = \lambda\cdot X\)，

其中 \(\lambda\) 是實數，而非矩陣。

方程式 \(A \cdot X =\lambda\cdot X\) 的意義就是 \(X\) 在乘以 \(A\) 之後，會變成原來的 \(\lambda\) 倍。