排容原理

如何計算紅球先取完的機率？
(How to calculate the probablity of taking all the red balls first ?)
國立蘭陽女中陳敏晧教師

排列組合教學過程中，有一個值得討論的議題：「如何計算紅球先取完的機率？」
先從兩種不同顏色球的討論開始：

例1：

袋中有三個紅球與兩個白球，今從袋中每次取一球，取後不放回，請問紅球比白球先取完的機率？

解法：

因為紅球先取完，所以，最後一球必定是白球，因此，
\( P(\text{紅球比白球先取完})= \displaystyle\frac{{\frac{{4!}}{{3! \times 1!}}}}{{\frac{{5!}}{{3! \times 2!}}}} = \frac{2}{5} = \frac{2}{{3 + 2}} = \frac{W}{{R + W}}\)，
其中 \(R\) 代表紅球的個數，\(W\) 代表白球的個數。

接著，透過排容原理(Inclusion–exclusion principle)或取捨原理，

如下圖一與圖二所示，可以將問題延伸。

排容原理(Principle of Inclusion and Exclusion)（一）
國立高雄大學應用數學系游森棚副教授責任編輯

排容原理( Principle of Inclusion and Exclusion, 簡稱PIE)，是高中排列組合的第三個，也是最後一個基礎原理(前兩個是「乘法原理(Rule of Product)」與「加法原理 (Rule of Sum)」) 亦有一些書按英文順序直譯為容斥原理(或許這是比較好的翻譯)。

排容原理中的「排」 是指「排除」，「容」是指「容納」。 基本上的想法就是「多退少補」 — 多算的要排除，少算的要加進來。從原文亦可以清楚看出這個原理的精神。