期望值(Expected Value)
臺北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師
如果想要粗略估計隨機變數 \(X\) 的大小，期望值 \(E(X)\) 是一個常用的代表。
而期望值定義是：
若隨機變數 \(X\) 的機率分布如下
則隨機變數 X 的期望值 \(E\left( X \right) = {x_1}{p_1} + {x_2}{p_2} + \cdots + {x_n}{p_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}{p_i}} \)
換言之，隨機變數 \(X\) 的期望值是 \(X\) 的所有可能值的加權平均數。
數學期望值 (Mathematical Expectation)
國立屏東高級中學數學科楊瓊茹老師
在處理有關財務風險的事務時，不免要衡量可能的得與失，「數學期望值」的觀念在此時就顯得特別重要，可以幫助我們思考及判斷出最佳的決策。其定義如下：
若隨機變數 \(X\) 的機率分布如下表﹕
則稱 \(E\left( X \right) = {x_1}{p_1} + {x_2}{p_2} + \cdots + {x_n}{p_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}{p_i}} \) 為隨機變數 \(X\) 的數學期望值。
數學期望值 (簡稱期望值) 即平均值的概念，而且是加權平均數。將每個結果依它發生的機率來加權，發生機率愈大，權數愈高。
初等的機率論（8）隨機變數及其種種性質
（Elementary Probability Theory-8. Random Variables and Its properties）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯
摘要：本文分別介紹「離散型」與「連續型」機率分佈（probability distribution）中幾個重要的分佈：「二項分佈（binomial distribution）」、「Poisson分佈」、「常態分佈（normal distribution）」，進而導出其期望值與變異數。並將「Markov不等式」與「Chebyshev不等式」以機率的語言重述之。
一個隨機實驗做下來，就有初等機率空間 $$(\Omega,\mathfrak{A},P)$$，這是精煉隨機實驗所得到的原始機率資料。然而，我們有興趣觀測的往往是某個變量 $$X$$，定義在 $$\Omega$$ 上的一個實值函數 $$X:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$$。這就是隨機變數的概念，在統計學上又叫做統計變量。$$X$$ 將 $$(\Omega,\mathfrak{A},P)$$ 上的機率資料，重新改訂成方便於使用的資訊。例如丟兩個骰子，我們要觀測「點數和」是多少。在每一賭局中，賭徒要觀察輸贏額。
初等的機率論（4）機率論的甕模型
（Elementary Probability Theory-4. Urn Model for Probability Theory）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯
摘要：本文從「機率論是虛，記述統計是實」的論點出發，以實例引導我們從「記述統計」進入「機率論」的世界。
現在我們先把主題點出來：機率論和記述統計，幾乎完全一樣！只是一虛一實而已。機率論是虛，記述統計是實。
為了說明這一點，我們就想像這種情形：我把去年學生的成績做了完整的記錄，將每一位學生都想像為一個球 $$\omega_k$$，並且寫上該生的分數 $$x_k$$，全部裝到一個甕（urn）$$\Omega$$ 之中，於是有 $$\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\dots,\omega_N\}$$，這叫做樣本空間（sample space）。