獨立事件

獨立事件 (Indenpent Event)
國立蘭陽女中陳敏晧教師

已知 \(A\) 與 \(B\) 為樣本空間中的兩個事件，

若 \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\)，則稱 \(A\) 事件與 \(B\) 為獨立事件；
若 \(P(A\cap B)\ne P(A)\cdot P(B)\)，則稱 \(A\) 事件與 \(B\) 為相關事件。

另一種解釋獨立事件的方式為當 \(B\) 事件的發生並不影響事件 \(A\) 發生的機率，
即 \(P\left( {A\left| B \right.} \right) = P\left( A \right) \Leftrightarrow \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = P\left( A \right) \Leftrightarrow P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right)P\left( B \right)\)。

若已知事件 \(A\) 與 \(B\) 為獨立事件，則

1. \(A\) 與 \(B’\) 為獨立事件。其中 \(B’\) 為之補集合。
2. \(A’\) 與 \(A\) 為獨立事件。
3. \(A’\) 與 \(B’\) 為獨立事件。

證明：

(1) \(\begin{array}{ll}P\left( {A \cap B’} \right) &= P\left( A \right) – P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) – P\left( A \right)P\left( B \right) \\&= P\left( A \right) \cdot \left( {1 – P\left( B \right)} \right) = P\left( A \right)P\left( {B’} \right)\end{array}\)，得證。參閱圖一。

圖一