班佛定律

班佛定律 (Benford’s Law)
國立屏東高級中學數學科楊瓊茹老師

現行的高中教科書中，有個非常有意思的題目：

審計工作者會使用班佛法則來查帳，班佛法則是：「銀行存款的最高位數字是 $$a$$ 者的比例約為 $$\log(1+\frac{1}{a})$$」﹒根據班佛法則﹐銀行存款的最高位數字是 $$4,5,6$$ 或 $$7$$ 者的比例約有
$$(1)~20\%$$   $$(2)~30\%$$   $$(3)~40\%$$   $$(4)~50\%$$   $$(5)~60\%$$ .

這個題目由簡單的對數運算性質，如下列算式得到答案 $$(2)~30\%$$。

$$\log \left( {1 + \frac{1}{4}} \right) + \log \left( {1 + \frac{1}{5}} \right) + \log \left( {1 + \frac{1}{6}} \right) + \log \left( {1 + \frac{1}{7}} \right) \\= \log \left( {\frac{5}{4} \times \frac{6}{5} \times \frac{7}{6} \times \frac{8}{7}} \right)=\log 2\approx 0.301$$

「班佛定律」又稱為首位數字法則 ( First-Digit Law )。