投資學、核物理與隨機矩陣（二）
蕭維翰
Figure0. 我們對角化了 100 個 500 * 500 的對稱矩陣，矩陣元素都是常態分佈 N(0,1)隨機產生的，我們將光譜的分佈畫成直方圖，發現這個分佈形成了半圓。
在前文中筆者嘗試說服讀者，投資的策略是可以利用數學去優化的。但即便只針對隨機過程，依舊有太多工具可以選擇。本系列文將側重於隨機矩陣這個例子，日後有機會再聊聊其他的工具。而選擇隨機矩陣的原因乃在於這個數學分支一部分的重要貢獻來自於核物理的研究。
在本文中，我們將回顧隨機矩陣在核物理發展中產生的助力，並在下篇拉回近代，說明這些想法怎麼被使用到財務問題中。
時間拉回到 1950 年代，物理學家們在核物理的實驗中觀察到許多光譜線。這裡的光譜線的概念和高中化學的氫原子光譜是一樣的。簡而言之，薛丁格方程式會決定一個系統（比如說氫原子）允許具備的穩定狀態與這個狀態具備的能量有哪些，當系統從一個狀態跳到另一個狀態，兩狀態之間的能量差以電磁波的方式釋放並被實驗觀察到，便是光譜。
矩陣列運算與基本矩陣
臺北市立和平高中黃俊瑋教師
高中程程中，有關線性方程組與矩陣的相關單元裡，介紹了矩陣的三種基本的列運算：
本文中，將矩陣列運算與基本矩陣作一連結，並藉此探討利用增廣矩陣以及列運算來求乘法反矩陣的方法。
首先，我們考慮二階方陣以及 \(2\times k\)階矩陣。
設二階方陣 \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&d \end{array}} \right]\)、以及 \(2\times k\) 階矩陣 \(B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \ldots &{{a_{1k}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \ldots &{{a_{2k}}} \end{array}} \right]\)
平面上基本的線性變換：旋轉、鏡射、伸縮、推移 (Linear Transformations on the Plane: Rotation, Reflection, Scaling, Shear)
臺北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師
平面上的線性變換，最基本的是下列的四種：旋轉、鏡射、伸縮、推移。本文將介紹這四種線性變換，及其所對應表示的矩陣。首先，由旋轉變換看起。
如圖一，坐標平面上，\(\overline{OP}=r\)，且點 \(P(x,y)\) 滿足 \(x=r\cos\alpha,~y=r\sin\alpha\)。
那麼，以原點 \(O\) 為中心，將點依逆時針方向旋轉 \(\theta\) 角後得點 \(P'(x’,y’)\)。
那麼 \( \begin{cases} x’=r\cos(\alpha+\theta) \\ y’=r\sin(\alpha+\theta) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x’=r(\cos \alpha \cos \theta – \sin \alpha \sin \theta) =x\cos \theta-y \sin\theta\\ y’=r(\sin \alpha\cos \theta+\cos \alpha\sin \theta)=y\cos\theta+x\sin\theta \end{cases}\)
若以矩陣表示，\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x’}\\ {y’} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \theta }&{ – \sin \theta }\\ {\sin \theta }&{\cos \theta } \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right]\) 。
因此，以原點 \(O\) 為中心逆時針方向旋轉 \(\theta\) 角的線性變換之表示矩陣為 \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \theta }&{ – \sin \theta }\\ {\sin \theta }&{\cos \theta } \end{array}} \right]\) ，
並且將 \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \theta }&{ – \sin \theta }\\ {\sin \theta }&{\cos \theta } \end{array}} \right]\) 稱為旋轉矩陣。
例如，將點 \(A(2,-4)\) 以 \(O\) 為中心逆時針旋轉 60o，
則 \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos {{60}^ \circ }}&{ – \sin {{60}^ \circ }}\\ {\sin {{60}^ \circ }}&{\cos {{60}^ \circ }} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ { – 4} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{2}}&{ – \frac{{\sqrt 3 }}{2}}\\ {\frac{{\sqrt 3 }}{2}}&{\frac{1}{2}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ { – 4} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 + 2\sqrt 3 }\\ { – 2 + \sqrt 3 } \end{array}} \right]\) ，
因此，對應點 \(A’\) 的坐標為 \((1+2\sqrt{3},-2+\sqrt{3})\)。
平面上的線性變換(Linear Transformations on the Plane)
臺北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師
矩陣是線性代數、離散數學、多變量微積分、多變量統計分析的基本工具。在高中課程中，對於矩陣的認識大致有兩種面向：首先，矩陣可以視為由許多數字組合而成的矩形陣列，可以一次處理大量的數字，例如一次聯立方程式與矩陣的關係、轉移矩陣的應用。此外，矩陣的加法和減法的運算規則也都證實這個觀點。另外，還有一個較為高階的觀點，就是將矩陣視為兩向量空間的線性變換之表達形式，這也使得矩陣成為線性代數主要處理的基本數學物件(object)。
矩陣的故事 (The Story of Matrices)
國立中央大學數學系單維彰副教授/國立中央大學數學系單維彰副教授責任編輯
摘要：簡介「矩陣」觀念的發生，說明其英文字的緣由，闡述矩陣相乘的意涵。
數學史大約已經認定英國數學家凱萊（Arthur Cayley, 1821-95）是開創矩陣理論的人。凱萊本人卻在文章中指出矩陣之觀念由來已久，而且「matrix」這個字是席維斯（James Sylvester, 1814-97）建議的。正如現在大家所知，矩陣是以矩形排列的一組數。雖說是「矩」陣，但早期的數學家其實僅討論「正方形」矩陣，也就是 \(n\times{n}\) 矩陣或 \(n\) 階方陣，簡稱方陣。