初等的機率論（8）隨機變數及其種種性質
（Elementary Probability Theory-8. Random Variables and Its properties）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯
摘要：本文分別介紹「離散型」與「連續型」機率分佈（probability distribution）中幾個重要的分佈：「二項分佈（binomial distribution）」、「Poisson分佈」、「常態分佈（normal distribution）」，進而導出其期望值與變異數。並將「Markov不等式」與「Chebyshev不等式」以機率的語言重述之。
一個隨機實驗做下來，就有初等機率空間 $$(\Omega,\mathfrak{A},P)$$，這是精煉隨機實驗所得到的原始機率資料。然而，我們有興趣觀測的往往是某個變量 $$X$$，定義在 $$\Omega$$ 上的一個實值函數 $$X:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$$。這就是隨機變數的概念，在統計學上又叫做統計變量。$$X$$ 將 $$(\Omega,\mathfrak{A},P)$$ 上的機率資料，重新改訂成方便於使用的資訊。例如丟兩個骰子，我們要觀測「點數和」是多少。在每一賭局中，賭徒要觀察輸贏額。
初等的機率論（4）機率論的甕模型
（Elementary Probability Theory-4. Urn Model for Probability Theory）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯
摘要：本文從「機率論是虛，記述統計是實」的論點出發，以實例引導我們從「記述統計」進入「機率論」的世界。
現在我們先把主題點出來：機率論和記述統計，幾乎完全一樣！只是一虛一實而已。機率論是虛，記述統計是實。
為了說明這一點，我們就想像這種情形：我把去年學生的成績做了完整的記錄，將每一位學生都想像為一個球 $$\omega_k$$，並且寫上該生的分數 $$x_k$$，全部裝到一個甕（urn）$$\Omega$$ 之中，於是有 $$\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\dots,\omega_N\}$$，這叫做樣本空間（sample space）。
初等的機率論（3）兩個重要的不等式
（Elementary Probability Theory-3. Two Important Inequalities）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯
摘要：本篇介紹「機率論」裡兩個重要的不等式：「Markov不等式」與「Chebyshev不等式」，讓我們更深入理解如何由「平均」與「標準差」知道資料分佈的狀態。
利用上述記述統計的簡單例子，我們馬上可以導出機率論裡兩個非常重要的不等式：Markov 不等式與 Chebyshev 不等式。它們是推導出（弱）大數法則之根據。
初等的機率論（2）代表值與參差度
（Elementary Probability Theory-2. Various Means and Dispersion）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯
摘要：延續上篇的討論，本篇針對「記述統計學」面臨的兩個基本問題，介紹了代表整體數據的「算術平均（arithmetic mean）」、以及衡量代表值好壞的「變異數（variance）」或「標準差（standard deviation）」。
記述統計學最初的問題，可以很具體地來說明。如果校長問我：「他們這次期中考的成績怎麼樣？」，我該怎麼報告？給他整堆數據 $$\{x_1,x_2,\dots,x_N\}$$ 是無用的。
對於學生的家長我要答以他子女的成績就好了。對於校長，個別學生的成績他沒興趣聽，他要知道的是全班的概況，例如最重要卻也是最起碼的兩件事：