轉移矩陣的穩定狀態與Google搜尋引擎 (The Stationary of a Transition Matrix, and Google Search)
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師
若 \(n\) 階方陣 \(M = {\left[ {{a_{i{\kern 1pt} j}}} \right]_{\;n \times n}}\) 滿足：
(1) 每個 \(a_{ij}\) 都滿足 \(0\leq a_{ij}\leq 1\) ；
(2) 每行的各元之和為1。
我們就稱 \(M\) 為「 \(n\) 階轉移矩陣」，簡稱為「轉移矩陣」。
多找幾個轉移矩陣來試試，就會發現有些矩陣不管初始狀態 \(X_0\) 為何，隨著 \(n\) 越來越大，
\(M^nX\) 就會越來越趨近於某個 \(X\)。
轉移矩陣（Transition Matrix）
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師
「轉移矩陣」的概念是由俄國數學家馬可夫 (Andrei Andreevich Markov, 1856~1922)在20世紀初時所提出，今日不管是在科學界、工程界還是商業界，都有很廣泛的應用，因此，我們又將「轉移矩陣」稱為「馬可夫矩陣」。讓我們從一個實際例子來了解什麼是「轉移矩陣」。
假設今天在郊區有個住宅區，居民每天可任意選擇自行開車上班，或搭乘大眾運輸工具上班。長期觀察此區的居民，發現當天開車上班的人中，有 \(\frac{4}{5}\) 的人隔天會繼續開車，另外的 \(\frac{1}{5}\) 會改搭大眾運輸工具；而當天搭乘大眾運輸工具的人中，有 \(\frac{2}{5}\) 的人隔天會繼續搭乘，但有 \(\frac{3}{5}\) 的人會改為自行開車。倘若我們是當地的交通主管官員，當看到這樣子的數據時，我們可以做出何種預測呢？預測正確，我們所做的決策才不會有問題。