錯排列

交換禮物中的機率問題（The probability of exchanging gifts）
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

每到聖誕節時，許多人喜歡舉辦交換禮物活動，假設總共有 \(n\) 個人參與，規定每個人各自帶來一件禮物，收集所有人的禮物後，便將禮物貼上編號，每個人再從中隨機抽出一樣禮物帶回家。總有人幸運地抽中自己心儀的禮物，也似乎常會有人不幸地抽中自己所帶來的禮物，真的是這個人運氣不好嗎？再者，若參與的每個人都沒有抽中自己的禮物是正常的嗎？

首先，我們從簡單的情況開始討論起。

當 \(n=1\) 時，必定拿回自己的禮物，所以機率為 \(P(A_1)=1\)（不過，一般應該沒有人自己和自己交換禮物）。

當 \(n=2\) 時，假設有 \(A_1\) 與 \(A_2\) 兩個人，各拿出 \(G_1\) 與 \(G_2\) 兩個禮物。
這時，想像隨機將 \(G_1\) 與 \(G_2\) 兩個禮物排列，其中的第一個位置代表 \(A_1\) 的禮物、第二個位置代表 \(A_2\) 的禮物，則有 \(G_1G_2\) 和 \(G_2G_1\) 兩種可能性。
換句話說，要嘛兩個人都拿到對方帶來的禮物，要嘛拿回自己禮物，而且兩者機率相同，因此，有拿回自己禮物的機率為 \(P(A_1\cup A_2)=\frac{1}{2!}\)，其中 \(P(A_1\cup A_2)\) 指的是 \(A_1\) 或 \(A_2\) 拿回自己禮物的機率。