牛頓插值多項式 (1)
牛頓插值多項式 (1) (Newton Interpolating polynomial)
臺北市立第一女子高級中學蘇俊鴻老師
由於多項式「常被用來逼近一般函數，並用來求一般函數的近似值。」，使得插值多項式有了學習的正當性，99課綱並特意引進拉格朗日插值多項式。
例如：以給定平面上三點 \(A(1,7),B(2,6),C(3,11)\) 為例，求圖形通過這三點的二次多項式。上述的問題等同於求一個二次多項函數 \(f(x)\)，使得 \(f(1)=7,f(2)=6,f(3)=11\)。
那麼，滿足條件的拉格朗日插值多項式為
\(\displaystyle f(x) = 7 \cdot \frac{{(x – 2)(x – 3)}}{{(1 – 2)(1 – 3)}} + 6 \cdot \frac{{(x – 1)(x – 3)}}{{(2 – 1)(2 – 3)}} + 11 \cdot \frac{{(x – 1)(x – 2)}}{{(3 – 1)(3 – 2)}}\)。
然而，許多課本還加碼補充牛頓插值多項式的方法（這也說明有著各種不同形式的插值多項式）。
通常開頭就會寫道：假設基於牛頓插值多項式，
滿足條件之函數 \(f(x)=f(1)+a(x-1)+b(x-1)(x-2)\)，
再將 \(f(2)=6,f(3)=11\) 代入，求出 \(a,b\)。
事實上，這樣的補充留下的問題，比它所解決的問題還多。例如，為何牛頓插值多項式會是上述的形式？除了背誦記憶規則外，有沒有理解它的其他方法？牛頓插值多項式的假設仍需要再求解未知數，會比拉格朗日插值多項式便利嗎？這個方法最早是牛頓給出的嗎？他如何想到的？是為了解決什麼問題呢？這個系列文章就是想要解答以上這些問題。首先，就由牛頓開始吧！