等差數列 (Arithmetic Progression)
國立蘭陽女中陳敏晧教師
一連串有次序的數，稱為數列(sequence)。其中的數，稱為項(term)；第一個項，稱為首項，以 \(a_1\) 表示；第 \(n\) 個項以 \(a_n\)表示。若數列中每一個後項減去前項的值固定時，則稱此數列為等差數列(Arithmetic Progression，簡寫為AP)，我們將此固定差值稱為公差(common difference)，以 \(d\) 表示。
因為 \(a_2-a_1=d\)，所以 \(a_2=a_1+d\)。又 \(a_3-a_2=d\)，所以 \(a_3=a_2+d=a_1+2d\)。我們很容易推得 \(a_n=a_1+(n-1)d,~n\in \mathbb{N}\)。進一步可得 \({a_n} = {a_m} + (n – m)d\)，其中 \(n,m\in \mathbb{N}\)。
另一個重要的無理數：e （Another important irrational number：e）
臺北市立和平高中教師黃俊瑋
現今高中一年級課程中的〈數與式〉單元裡，簡單地討論了數系家族中的各個成員。其中，無理數最令一般人感到陌生、無法捉摸。教材中除了介紹諸如 \(\sqrt{n}\) 以及 \(a+\sqrt{b}\) 類的常見無理數外，也介紹了大家熟知的無理數－圓周率 \(\pi\)。
然而，我們也知道，實數線上密密麻麻地佈滿了無窮多個無理數。換句話說，浩瀚的實數世界裡，除了上述常見無理數之外，想必尚有其它忝為人知的成員。除了 \(\pi\) 之外，另一個著名的成員為自然對數的底數 \(e\)。至於 \(e\) 是什麼東東呢？以下我們說分明。
由於 \(e\) 總喜歡藏身自然與生活中，所以我們先來考慮一個與複利有關的問題：假設本金為 \(1\) 單位，並以複利的方式計算。
若利率為 \(100\%\)，那麼 \(1\) 年後本利和為 \((1+1)^1=2\)。
若改成半年支付一次利息，則利率減半為 \(\frac{1}{2}\cdot 100\%\)。
那麼，\(1\) 年後本利和為：\((1+\frac{1}{2})^2=\frac{9}{4}=2.25\)
若改成四個月支付一次利息，則利率變為 \(\frac{1}{3}\cdot 100\%\)。
那麼，\(1\) 年後本利和為：\((1+\frac{1}{3})^3=\frac{64}{27}\approx 2.370…\)
若改成三個月支付一次利息，則利率變為 \(\frac{1}{4}\cdot 100\%\)。
那麼，\(1\) 年後本利和為：\((1+\frac{1}{4})^4=\frac{625}{256}\approx 2.441…\)
\(\cdots\)
以此類推，當利率變成原本的 \(\frac{1}{n}\)，支付次數變成 \(n\) 次，則 \(1\) 年後本利和為：\((1+\frac{1}{n})^n\)
如此，我們可或得一個數列〈\((1+\frac{1}{n})^n\)〉，其中 \(n\) 為自然數。