指數與對數函數

布里格斯的《對數算術》與對數表的製作(III) (Briggs’ Arithmetica Logarithmica and the creation of logarithmic table, part 3)
臺北市立西松高中蘇惠玉教師

連結：布里格斯的《對數算術》與對數表的製作(II) 

《對數算術》第 $$8$$ 章

在第 $$6$$、$$7$$ 兩章中，布里格斯為了處理連續開方，需要花費相當大的時間與精力在作開方的計算上。因此，他需要有個方法可以幫助他減少計算量，他將使用的方法寫在第 $$8$$ 章，稱為差分法（difference method）。

布里格斯在作開方時，發現一個 $$1$$ 點多的數開方，小數部分的值幾乎是原本的二分之一，藉由這樣的觀察，他利用與一半的「差距」，用一系列的演算法求得連續開方的下一項，以減少龐大的開方工作量。

首先，布里格斯選擇作連續幾次平方根後，小數點後面有 $$3$$ 或 $$4$$ 個 $$0$$ 之數為起始值，

分別計算 $$B,C,D,E,F$$ 等欄位的值，他們之間的關係如下：

他從 $$6^9/10^7=1.0077696$$ 開始作連續開方，其中 $$1+A_n$$ 表示作第 $$n$$ 次開方的值，

並依序計算相對應的 $$B,C,D,E,F$$ 等欄位的值。

布里格斯的《對數算術》與對數表的製作(II) (Briggs’ Arithmetica Logarithmica and the creation of logarithmic table, part 2)
臺北市立西松高中蘇惠玉教師

連結：布里格斯的《對數算術》與對數表的製作(I) 

《對數算術》第 $$5$$～$$7$$ 章

第 $$5$$ 章到第 $$8$$ 章為計算以 $$10$$ 為底的對數的主要方法。在第 $$5$$ 章中所提的方法，布里格斯將它歸功於納皮爾。他以 $$\log 5$$ 與 $$\log 7$$ 為例，說明小一點的質數如何求其對數值。考慮 $$\log 2$$，先計算 $$2$$ 的次方，並標明其位數。

為了使對數值精確到小數點後第 $$14$$ 位，布里格斯計算到了 $$2^{10^{14}}$$；不過，他也不是每個都算，而是以四個數一組，每次都計算次方為 $$2\times 10^k,4\times 10^k,8\times 10^k,10\times 10^k$$ 的四個數的位數，如下圖一。在計算位數時，布里格斯並沒有將每個數完整算出後計算，他利用了下面這個性質：如要計算兩數相乘後的位數，考慮這兩數的首幾位數字，相乘後的位數不是兩者位數相加，就是兩者位數相加再減 $$1$$，如下圖二。

布里格斯的《對數算術》與對數表的製作(I) (Briggs’ Arithmetica Logarithmica and the creation of logarithmic table, part 1)
臺北市立西松高中蘇惠玉教師

在高中數學課程中，對數觀念的學習與應用是相當重要的一個單元。不過，在學習的過程中，課程雖然著重在觀念的理解，與對數表的應用，卻沒有明白地告訴學生 $$\log 2,\log 3$$ 等等的對數值，到底是怎麼算出來的。因此，學生對此單元的學習容易因為一知半解的情況，而顯得成效不彰。

接下來這一系列的相關文章，將說明布里格斯（Henry Briggs, 1561~1630）在他的《對數算術》（Arithmetica Logarithmica）一書中，所用來建造以 $$10$$ 為底的對數表之幾種方法，並希望能將這些方法應用在目前的數學課堂的學習上，讓學生可以了解或親自動手算算這些常用對數的值。