指數函數（Exponential function）

指數函數（Exponential function）
國立北門農工職業學校數學科李建宗老師/國立台灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

當自變數 $$x$$ 放置在指數，而底數為某一正數 $$a$$ 時，所形成的函數就稱為指數函數；即

$$f(x)=a^x~(x\in{R})$$。

而有了實數指數律性質，就可以將指數函數圖形描繪出來。一般而言，只要給定一正數 $$a$$，我們就可以透過電腦將其圖形繪出。例如下圖（一），我們利用電腦軟體描繪出 $$f(x)=a^x~(a>1)$$ 和 $$g(x)=a^x~(0<a<1)$$ 的圖形。我們可以觀察出指數函數圖形的一些數學特性：

從直觀而言，當 $$a>1$$ 時，$$y=f(x)=a^x$$ 是由左而右逐漸往上上升，

而這一種情況在數學上，稱 $$f(x)$$ 為嚴格遞增函數，

也就說在 $$f(x)$$ 圖形上任兩點，若 $$x_1<x_2\Longleftrightarrow{f(x_1)}<f(x_2)$$。

反之，當 $$0<a<1$$ 時，$$g(x)=a^x$$ 是由左而右逐漸下降，稱 $$g(x)$$ 為嚴格遞減函數，

也就說在 $$g(x)$$ 圖形上任兩點，若 $$x_1<x_2\Longleftrightarrow{g(x_1)}>g(x_2)$$。

而不管是 $$f(x)$$ 還是 $$g(x)$$ 都是呈現凹向上，從直觀意義上說，也就是取線上任兩點的連接線段必在曲線上方，稱函數 $$f(x)$$ 或 $$g(x)$$ 為凸的。

另外由直觀意義面上而言，當 $$a>1$$ 時，$$f(x)=a^x$$ 是在 $$x$$ 軸正向座標數字，好比以 $$a$$ 為倍率的放大次數，在 $$x$$ 軸負向座標數字好比縮小次數；也正因如此，在 $$x$$ 軸正向的 $$y$$ 座標會隨著放大次數增加而持續往上；而在 $$x$$ 軸負向的 $$y$$ 座標會隨著縮小次數增加而持續縮小至非常靠近 $$x$$ 軸，而這種非常趨近直線 $$x$$ 軸情況，我們就稱 $$x$$ 軸為 $$f(x)=a^x$$ 的漸近線。

而當 $$0<a<1$$ 時，$$g(x)=a^x$$ 在 $$x$$ 軸正負向意義剛好和 $$f(x)=a^x$$ 相反。而不管是 $$g(x)=a^x$$ 或是 $$f(x)=a^x$$ 都和 $$y$$ 軸交於 $$(0,1)$$，也就是說一個正實數自乘 $$0$$ 次，其放大或縮小比例都是末更動，還是保持原來的大小。

而當 $$a>1$$ 時，$$f(x)=a^x$$ 和 $$g(x)=(\frac{1}{a})^x=(a)^{-x}$$，假如在 $$f(x)$$ 上找任一點 $$P(x_1,y_1)$$，則會得 $$Q(-x_1,y_1)$$ 在 $$g(x)$$ 圖形上，而 $$x=0$$（$$y$$ 軸）恰是 $$\overline{PQ}$$ 的垂直平分線，這種情況我們就稱 $$f(x)$$ 與 $$g(x)$$ 的圖形對稱於 $$x=0$$。從直觀意義上，只要沿著對稱軸對折，就可以發現 $$f(x)$$ 與 $$g(x)$$ 的圖形是重疊的。