向心力

杯中茶葉何去何從？
國立臺灣大學物理學系陳義裕教授

這篇短文想要討論的是一個很易發現的現象：以一根湯匙去攪拌一杯泡有一點茶葉的茶水，則最後杯中的茶葉都會集中、聚集在杯底中央。為什麼？

一、以實驗室靜止觀察者的觀點看問題

當你用一根湯匙去攪拌一杯水後，杯子中的水會整體轉動起來。如果當初攪拌的時候很使勁，杯子中的水轉動得特別快，我們還會發現水面中心明顯凹陷了下去，而靠近邊緣的水位則比較高，整個水面看起來就像是一個碟形天線的形狀(如圖一所示)。不用懷疑，此時水面與碟形天線的形狀真的是同一個模樣，我們將之稱為拋物面。

圖一 水在杯子中轉動，其水面呈下凹狀，與碟形天線的形狀同一個模樣，稱為拋物面。(為了展示效果，此圖故意將表面凹陷的情況誇大) (作者提供)

為什麼轉動中水的表面會呈中心凹陷的拋物面狀？這就要從水要如何去維持轉動的狀態說起。我們知道物體若要做等速圓周運動，則便需要一個向心力，杯子中的一個小水塊既然是在繞著杯子的中心軸轉動，自然也需要有向心力，而此向心力的來源，是由小水塊沿著徑向上的內外兩側之水壓大小不等來提供(如圖二所示)。

圖二 轉動中的小水塊沿著徑向上的內外兩側之水壓大小不等，這提供了小水塊做等速圓周運動所需要的向心力。(作者提供)

可是水壓在徑向上怎麼會出現內低外高的現象呢？原來水面之所以會呈現拋物面狀的祕密就在這裡了：我們在水中某個位置處之所以會感受到水壓，其實是因為它上方所有的水之重量累積疊加後壓了下來所致，因此只要其正上方之水面越高，則水壓就越大。從圖二我們可以看出，有了拋物面狀的水面，則在同一個高度處沿著徑向往外走出去時，其正上方水的深度一定是越來越大，所以水壓的分布一定是越往外就越大。

雖然杯中的水整體轉動得很一致(幾乎就像是一個圓柱體在繞著其中心軸旋轉一般)，但是接近杯底的水就沒辦法轉那麼快了，原因是日常生活中所接觸到的流體都有一個很有趣的特性：和固體接觸的流體很喜歡附著、緊貼著固體表面；它會賴在那裏不想流走。由於杯子是靜止不動的，杯底當然就沒有在轉動，所以接近杯底的水就處於一種很尷尬的場面：一方面在它正上方有一大團轉動得非常快的水想要帶著它一起轉動，但另一方面它又因為貼著杯底，事實上是不太能夠動的，所以做個妥協，接近底部的水就只好慢慢地轉，如圖三動畫所示。