從二項式定理到多項式定理 (2)
從二項式定理到多項式定理 (2)(From Binomial Theorem to Multinomial Theorem (2))
臺北市立第一女子高級中學蘇俊鴻老師
在〈從二項式定理到多項式定理(1)〉中提到 \((x+y)^3\) 的 \(x^2y^1\) 項是如何產生呢?由於 \({\left( {x + y} \right)^3} = \left( {x + y} \right)\left( {x + y} \right)\left( {x + y} \right)\),故可看成在三個 \((x+y)\) 括號中,二個選 \(x\) 一個選 \(y\) 相乘而得,如此選取的方法數為 \(C_1^3\),所以 \(x^2y^1\) 項的係數是 \(C_1^3=3\)。
不過,也可換個方式來看 \(x^2y^1\) 項的產生。如圖一所示,選取二個選 \(x\)、一個 \(y\) 後,其情形等同於 \(2\) 個 \(x\) 與 \(1\) 個 \(y\) 的不盡相異物直線排列。因此,\(2\) 個 \(x\)、\(1\) 個 \(y\) 的直線排列可產生 \(x^2y^1\) 項,這樣的排列方法數為 \(\frac{3!}{1!2!}=3=C_1^3\),故 \(x^2y^1\) 項的係數是 \(C_1^3=3\)。