排列組合 | 科學Online

從二項式定理到多項式定理 (2)

2014/09/19

從二項式定理到多項式定理 (2)（From Binomial Theorem to Multinomial Theorem (2)）
臺北市立第一女子高級中學蘇俊鴻老師

在〈從二項式定理到多項式定理(1)〉中提到 $(x+y)^3$ 的 $x^2y^1$ 項是如何產生呢？由於 ${\left( {x + y} \right)^3} = \left( {x + y} \right)\left( {x + y} \right)\left( {x + y} \right)$，故可看成在三個 $(x+y)$ 括號中，二個選 $x$ 一個選 $y$ 相乘而得，如此選取的方法數為 $C_1^3$，所以 $x^2y^1$ 項的係數是 $C_1^3=3$。

不過，也可換個方式來看 $x^2y^1$ 項的產生。如圖一所示，選取二個選 $x$、一個 $y$ 後，其情形等同於 $2$ 個 $x$ 與 $1$ 個 $y$ 的不盡相異物直線排列。因此，$2$ 個 $x$、$1$ 個 $y$ 的直線排列可產生 $x^2y^1$ 項，這樣的排列方法數為 $\frac{3!}{1!2!}=3=C_1^3$，故 $x^2y^1$ 項的係數是 $C_1^3=3$。

圖一$~~~(x+y)^3$ 部分集項示意圖

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從二項式定理到多項式定理 (1)

2014/09/19

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從二項式定理到多項式定理 (1)（From Binomial Theorem to Multinomial Theorem (1)）
臺北市立第一女子高級中學蘇俊鴻老師

國中時學到乘法公式 ${(x + y)^2} = {x^2} + 2xy + {y^2}$，${(x + y)^3} = {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3}$，就在猜想 ${(x + y)^4},{(x + y)^5},\cdots,{(x + y)^n}$ 展開後的模樣。透過比對可看出 $(x+y)^n$ 的各項都是齊次，也就是說，展開的各項 $x^ay^b$ 都會滿足 $a+b=n$。

因此，只要能掌握各項係數的規則，任意的自然數 $n$，我們便能將 $(x+y)^n$ 的各項依 $x$ 或 $y$ 的升冪或降冪排出。國中老師採用的方法是將巴斯卡三角形畫出(圖一)，一一對應，只要足夠耐心，就能達到任意的自然數 $n$。

圖一$~~~$巴斯卡三角形

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井字上翻烏龜(A Turtle Game)

2011/07/19

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井字上翻烏龜(A Turtle Game)
國立台中女中數學科賴信志老師/國立台灣師範大學數學系許志農教授責任編輯

摘要：旺宏教育基金會從 2002 年開始，每年舉辦「旺宏科學獎」，該基金會認為科學教育的扎根，在高中階段最顯重要，創新獨立的思考如能從高中階段開始培養，學生的創造力及潛力將超乎想像。旺宏科學獎的獎項有金牌獎､銀牌獎與優等獎，優於金牌獎的作品可得旺宏獎（此獎項可從缺）。這裡所要介紹的這道遊戲來自第三屆旺宏科學獎的旺宏獎作品。

在井字形的九宮格內隨意放置行走或縮頭狀態的九隻烏龜，如下圖所示：

每次只能點選其中的一隻烏龜，被點選的烏龜及與其相鄰的烏龜會改變狀態，即行走狀態的烏龜會變成縮頭狀態的烏龜，而縮頭狀態的烏龜會變成行走狀態的烏龜。遊戲的目的就是要將九隻烏龜都變成行走狀態