數學歸納法

數學歸納法(Mathematical induction)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師

談論數學歸納法 (mathematical induction)，就必須提及義大利數學家皮亞諾 (Giuseppe Peano, 1858-1932) 的五個公設。他總結了自然數的有關性質，提出五條公理，後人稱之為「自然數的皮亞諾公理」，其內容如下：

\((1)\)  \(1\) 是一個自然數。

\((2)\)  \(1\) 不是任何其他自然數的後繼數。¹

\((3)\)  每一個自然數 \(a\) 都有一個後繼數。

\((4)\)  如果 \(a\) 與 \(b\) 的後繼數相等，則 \(a\) 與 \(b\) 亦相等。

\((5)\)  若一個由自然數組成的集合 \(s\) 包含有 \(1\)，又若當 \(s\) 包含有某一數 \(a\) 時，它一定也含有 \(a\) 的後繼數，則 \(s\) 就包含有全體自然數。

上述第5條即所謂的「數學歸納法的原理」，也就是目前中學生所熟悉的解題模式(problem-solving module) 之依據，²其步驟如下：

1. 證明當取第一個元素 \(n_0\) 時(起始元素)，原式成立。
2.1 假設 \(n =k~(k\ge n_0)\) 時(中繼元素)，原式成立。
2.2 利用 2.1 證明 \(n = k + 1\) 時(後繼元素)，原式成立。³