牛頓插值多項式 (3)
牛頓插值多項式 (3) (Newton Interpolating polynomial)
臺北市立第一女子高級中學蘇俊鴻老師
連結：牛頓插值多項式(2)
在〈牛頓插值多項式(2)〉中，我們討論了牛頓插值多項式形式的意義。接下來，我們想要介紹數值分析中對於牛頓插值多項式中各項係數的運算規則和簡便求法。基本上，它的思路和〈牛頓插值多項式(2)〉中所談論的想法一致，只是我們透過符號的輔助，幫助掌握其中所涉及的規律。我們的問題為
給定 \(n+1\) 個資料點 \(({x_0},f({x_0})),({x_1},f({x_1})),({x_2},f({x_2})), \cdots ,({x_n},f({x_n}))\)，
求滿足這 \(n+1\) 個資料點的 \(n\) 次多項式 \(f(x)\)。
首先，從滿足兩個點 \(({x_0},f({x_0})),({x_1},f({x_1}))\) 的一次多項式 \(f_1(x)\) 討論起。
假設 \({f_1}(x) = f({x_0}) + {b_1}(x – {x_0})\)
那麼，\({f_1}({x_1}) = f({x_1}) = f({x_0}) + {b_0}({x_1} – {x_0}) \Rightarrow {b_1} = \frac{{f({x_1}) – f({x_0})}}{{{x_1} – {x_0}}}\)。
因此 \({f_1}(x) = f({x_0}) + \frac{{f({x_1}) – f({x_0})}}{{{x_1} – {x_0}}}(x – {x_0})\)
接著，考慮滿足三個點 \(({x_0},f({x_0})),({x_1},f({x_1})),({x_2},f({x_2}))\) 的二次多項式 \(f_2(x)\)。
承上面的結果，可以假設
\(\begin{array}{ll}{f_2}(x) &= {f_1}(x) + {b_2}(x – {x_0})(x – {x_1}) \\&= f({x_0}) + \frac{{f({x_1}) – f({x_0})}}{{{x_1} – {x_0}}}(x – {x_0}) + {b_2}(x – {x_0})(x – {x_1})\end{array}\)