相同物的分配

重複組合（二）：公式的一個直觀解釋
Combination with repetition (II)：An intuitional explanation of the formula
臺北市立和平高中教師黃俊瑋

連結：重複組合（一）：相關課程之統整與反思 

在〈重複組合（一）：相關課程之統整與反思〉一文裡，簡單統整了重複組合相關概念與連結。

一般而言，重複組合問題可利用一一對應原理，轉化成 \(x_1+x_2+\cdots+x_n=k\) 類方程式求非負整數解個數問題，再進一步轉化得其解的數量為 \(C_k^{k+n-1}\)。而各類計數問題，只要轉化成上述方程式求非負整教解問題，便可依此組合公式求解。

以具體的例子來看，從 \(3\) 類物（每類物超過 \(5\) 個）可重複地選出 \(5\) 個的組合數，等於方程式 \(x+y+z=5\) 的非負整數解個數，可轉化成 \(5\) 個○與 \(2\) 個分隔記號|的排列數，再換成組合數，如此可知非負整數解之數為 \(C_3^{5+(3-1)}\)。

這裡筆者分享另一個想法：我們可將分隔記號「|」改以加號「＋」代替，這時 的一組解可對應到「○○○○○＋＋」的一種排法，例如：「○○＋○○＋○」\(\leftrightarrow(2,2,1)\)；「○＋＋○○○○」\(\leftrightarrow(1,0,4)\)，其中，將球區分成 \(3\) 區同樣需要兩個＋號，同時，加號可有助於直觀地與「\(3\) 個變數加起來為 \(5\)」，以及「\(3\) 類球○加起來共選 \(5\) 個」作連結。