綜合除法

二項式定理的推廣（二）：有理數冪次
(The generalization of Binomial theorem（II）：rational power)
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

連結：二項式定理的推廣（一）: 負整數冪次 

前文〈二項式定理的推廣（一）：負整數冪次〉裡，對二項式定理作了冪次上的推廣，從正整數推廣至負整數。接著，我們進行另一個推廣：有理數冪次。不過，受限於篇幅，這裡主要先討論指數為 $$1/2$$ 次方的二項展開式。並同樣借用江戶時期日本數學家的方法來作說明。

首先，指數為 $$1/2$$ 次方的二項展開式與開平方問題為一體兩面，例如 $$(1+a)^{\frac{1}{2}}$$ 可看成 $$\sqrt{1+a}$$。再者，在東方數學史發展的過程裡，$$\sqrt{1+a}$$ 之開方問題與方程式的解息息相關：若令$$x=\sqrt{1+a}$$ ，則開方求 $$x$$ 相當於求解方程式 $$x^2-(1+a)=0$$ 之實根問題。

然而，無論是傳統中算或者江戶時期的日本數學發展的過程，求解一元多項方程次時，往往利用了類似現今綜合除法的「開方法」（即賈憲－霍納法）來求方程式的數值解（相關內容與方法，可參考另一篇文章〈利用綜合除法求解多項方程式〉）。

因此，處理 $$(1+a)^{1/n}$$ 有關的展開式問題時，

便相當於求解 $$x=(1+a)^{1/n}$$，亦即求解 $$x^n-(1+a)=0$$ 的實根。

當然，若 $$1+a$$ 為實數時，我們僅需前述方法（賈憲－霍納法）便能求得其近似數值解。

代數基本定理的引理（Lemma of Fundamental Theorem of Algebra）
國立中央大學數學系單維彰副教授/國立中央大學數學系單維彰副教授責任編輯

連結：代數基本定理

摘要：這裡將先前提及的「代數基本定理」的引理，給出一個完整的證明。

使得代數基本定理成立的最關鍵因素，是以下引理：

令 $$f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$$ 是一個 $$n$$ 次複係數多項式函數，其中 $$n\ge 1$$。
若 $$f(z_0)\ne 0$$，則存在一個 $$z_0$$「附近」的複數 $$z_1$$ 使得 $$|f(z_1)|<|f(z_0)|$$。