多項式除法

Posted on 2010/10/15 in 函數, 多項式函數, 數學 with 有 1 則迴響。 30,977 views

多項式除法 (Polynomial Quotients and Remainders)
國立中央大學數學系單維彰副教授責任編輯

多項式的「元」具備如實數一般的運算性質，但是多項式本身的運算性質卻像正整數：兩個多項式相除，會得到商式並產生餘式。類似於正整數的除法原理，若多項式 $$P$$、$$K$$、$$Q$$、$$R$$ 滿足 $$\mathrm{deg}~R <\mathrm{deg}~K$$ 且 $$P=QK+R$$，例如 $$x^2=(x+1)(x-1)+1$$ 則它們也可以寫成多項式除法形式：

$$P\div{K}=Q…R$$

例如 $$x^2\div(x-1)=(x+1)…1$$。我們稱 $$P$$ 為被除式、$$K$$ 為除式、$$Q$$ 為商式、$$R$$ 為餘式，而 $$P=QK+R$$ 和 $$P\div{K}=Q…R$$的等價關係，稱為多項式的除法原理。

類似多項式的加、減、乘可以寫成直式，多項式相除也有直式，稱為長除法；我們以 $$x^2$$ 除以 $$x-1$$ 為例示範如下：

在得到了紅色的商式與綠色的餘式之後，我們可以將答案記成

$$x^2\div(x-1)=(x+1)…1$$

同樣地，我們也能使用分離係數法，以 $$6x^3-x+3$$ 除以 $$2x-1$$ 為例示範如下：

我們一樣可以將除法記錄為 $$\displaystyle(6x^3-x+3)\div(2x-1)=(3x^2+{\frac{3}{2}}x+\frac{1}{4})…\frac{15}{4}$$。

根據除法原理，如果 $$P\div{K}=Q…R$$ 則 $$P-R={QK}$$。

例如 $$\displaystyle 6x^3-x+3-{\frac{15}{4}}=(3x^2+{\frac{3}{2}}x+\frac{1}{4})(2x-1)$$。

如果餘式是 $$0$$，亦即 $$P\div{K}=Q$$ 或 $$P=QK$$ ，則 $$Q$$ 和 $$K$$ 都稱為 $$P$$ 的因式。

例如 $$\displaystyle 3x^2+\frac{3}{2}x+\frac{1}{4}$$ 和 $$2x-1$$ 都是 $$\displaystyle 6x^3-x-\frac{3}{4}$$ 的因式。

顯然，如果 $$P=QK$$ 則 $$P\div{K}=Q$$，這是多項式的乘除互逆性質。

將多項式 $$P$$ 寫成因式相乘的形式，如 $$P=QK$$，稱為 $$P$$ 的因式分解。因為非零實數也就是零次多項式，所以多項式總有（無聊的）因式分解，例如 $$\displaystyle x^2+1=\frac{1}{5}(5x^2+5)$$。

同理，因式分解並不唯一，例如

$$\displaystyle x^2-1=(x+1)(x-1)=(2x+2)(\frac{1}{2}x-\frac{1}{2})$$。

多項式除法中，若除式正好為 $$x-c$$ 的形式，則有一種更簡便的方法可以做除法，稱為綜合除法。讓我們觀察 $$(x^3-2x^2-x-4)\div(x-3)$$，在將之以分離係數法表示後，可以發現有許多數字都在重覆，在下方用相同顏色標記：

如我們所知，餘數存在於長除法的最後一層，而粉紅色與綠色的部分其實也表現出了商式，因此我們可以省略商式，也省略長除法中重覆的數字，如下：

此時紅色為商式，藍色為餘式。將長除法中第二層、第三層的數字全部合併上來，可以進一步縮減直式的高度，如下：

由於綜合除法僅適用於$$x-c$$ 的形式，$$x$$ 項的係數 $$1$$ 也可以省略。綜合所有的省略和合併，我們便能寫成以下形式：

其中紅色的部分是商式，藍色是餘式（此時的餘式必為一個實數）。我們又注意到，在以上計算過程中，總是重複地做 $$a-(-c)b$$ 形式的計算，例如第二行做 $$(-2)-(-3)$$，第三行做 $$(-1)-(-3)$$，第四行做 $$(-4)-(-6)$$。既然如此，何不做 $$a+cb$$ 就好了？

重新整理以上的發現，就是綜合除法，示範如下。我們先列出被除式的係數（降冪排列，缺項補零），例如將 $$x^3-2x^2-x-4$$ 的係數列為 $$1~~-2~~-1~~-4$$；如果除式是 $$x-c$$，將 $$c$$（而不是 $$-c$$）寫到式子的右側，例如當除式是 $$x-3$$，寫 $$3$$ 在右側。畫一條折線隔開：