重複組合(二):公式的一個直觀解釋
重複組合(二):公式的一個直觀解釋
Combination with repetition (II):An intuitional explanation of the formula
臺北市立和平高中教師黃俊瑋
在〈重複組合(一):相關課程之統整與反思〉一文裡,簡單統整了重複組合相關概念與連結。
一般而言,重複組合問題可利用一一對應原理,轉化成 \(x_1+x_2+\cdots+x_n=k\) 類方程式求非負整數解個數問題,再進一步轉化得其解的數量為 \(C_k^{k+n-1}\)。而各類計數問題,只要轉化成上述方程式求非負整教解問題,便可依此組合公式求解。
以具體的例子來看,從 \(3\) 類物(每類物超過 \(5\) 個)可重複地選出 \(5\) 個的組合數,等於方程式 \(x+y+z=5\) 的非負整數解個數,可轉化成 \(5\) 個○與 \(2\) 個分隔記號|的排列數,再換成組合數,如此可知非負整數解之數為 \(C_3^{5+(3-1)}\)。
這裡筆者分享另一個想法:我們可將分隔記號「|」改以加號「+」代替,這時 的一組解可對應到「○○○○○++」的一種排法,例如:「○○+○○+○」\(\leftrightarrow(2,2,1)\);「○++○○○○」\(\leftrightarrow(1,0,4)\),其中,將球區分成 \(3\) 區同樣需要兩個+號,同時,加號可有助於直觀地與「\(3\) 個變數加起來為 \(5\)」,以及「\(3\) 類球○加起來共選 \(5\) 個」作連結。