數學史

各式聯立方程組的程序性解法 (1)：麥克勞林與卡丹諾
（Different Procedural Resolutions of Linear Equations: Maclaurin’s and Cardano’s Works）
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師

摘要：本文介紹麥克勞林在其《代數學》中所呈現的二元、三元一次聯立方程組的解公式，它們等價於克拉瑪公式。另外還介紹了卡丹諾在《大技術》中相當於二元一次聯立方程組的程序性解法。

麥克勞林的公式

麥克勞林 (Colin Maclaurin, 1698~1746)在27歲的時候獲得牛頓 (Newton)的推薦擔任愛丁堡大學數學教授一職，將一生都奉獻給了故鄉蘇格蘭。在他死後兩年 (1748年)才出版的著作《代數學》(Treatise of Algebra)中，也有今日所謂的「克拉瑪公式」，他利用解方程式的方式，得出下列的公式：

$$\left\{ \begin{array}{l} ax + by = c\\ dx + ey = f \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x =\displaystyle \frac{{ce – bf}}{{ae – db}}\\ y =\displaystyle \frac{{af – dc}}{{ae – db}} \end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l} ax + by + cz = m\\ dx + ey + fz = n\\ gx + hy + kz = p \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x =\displaystyle \frac{{ekm – bfm + bcn – bkn + bfp – cep}}{{aek – abf + dbc – dbk + gbf – gce}}\\ y =\displaystyle \frac{{afp – akn + dkm – dep + gcn – gfm}}{{aek – abf + dbc – dbk + gbf – gce}}\\ z =\displaystyle \frac{{aep – abn + dbm – dbp + gbn – gem}}{{aek – abf + dbc – dbk + gbf – gce}} \end{array} \right.$$