各式聯立方程組的程序性解法 (2)：中國的版本（Different Procedural Resolutions of Linear Equations: Chinese Versions）

各式聯立方程組的程序性解法 (2)：中國的版本
（Different Procedural Resolutions of Linear Equations: Chinese Versions）
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師

摘要：本文介紹程大位《算法統宗》的「二色方程歌」，這相當於二元一次聯立方程組程序性解法。

連結：各式聯立方程組的程序性解法 (1)：麥克勞林與卡丹諾

《九章算術》的〈方程〉章

中國最早的解聯立方程組的法，記載在《九章算術》的最後一章〈方程〉之中。由於這方法與算籌操作完美地配合，使得中國數學在解方程式的這一領域，顯得十分的單調。在明末以前，大抵就只有劉徽提出略為改良的「方程新術」而已。《九章算術》中的解法，本網站中蘇俊鴻老師所寫的〈矩陣的高斯消去法〉一文已有詳細的說明，在此不再贅述，請讀者自行參閱該文。接下來將介紹明朝《算法統宗》的「二色方程歌」。

《算法統宗》的「二色方程歌」

程大位，字汝思，號賓渠，生於明朝嘉靖12年（西元1533年），卒於明朝萬曆34年（西元1606年）。關於程大位的生平記載並不多，據稱他年少時聰穎而好學，除了讀儒家書外，更嗜書法與數學。二十歲外出經商後，更不忘四處搜羅有關的字帖及書籍。他的長輩程時用稱他「凡客遊湖海，遇古其文字及算數諸書，則購而玩之，齋心一志，至忘寢食。」數學書與書法帖被並稱「購而玩之」，可見在當時數學的地位與技藝相去不遠。不同於長輩認為的數學僅是玩物，程大位自己十分注重對數學的鑽研，他說：

予幼耽習是學，弱冠商游吳楚遍訪明師，繹其文義，審至成法。

程大位的家族善於經商，因此，他從小學習數學或許有為將來經商而用的目的，但成年之後，他對數學的興趣，已超乎商業應用了。他常常重金購買算書，並四處拜訪懂數學的人，指點自己在數學上的疑惑。到了晚年，他將自己數十年來的心得撰寫成書，於1592年出版《直指算法統宗》（簡稱為《算法統宗》）。程大位還特別針對數學初學者，將《算法統宗》17卷刪減成只有4卷的《算法纂要》，於1598年印刻。

明朝數學的特色之一，就是商業用數學的發展，《算法統宗》充分反映此一特色，書中不僅編有不少日用、商用的數學內容，也包含珠算的詳盡說明。而無論是數學的解題方法或是算盤的操作步驟，程大位多用各式易於記誦的口訣，甚至是歌行體的方式呈現。例如「二色方程歌」就是關於二元一次聯立方程組的解法：

世人欲要識方程，物價俱將左右陳。右上法乘左中下，次將左上右行乘；
中間相減餘為法，下位相減餘為實；法除實為右中價，得價須將右中乘；
右下價內減去積，餘為實數甚分明；右上為法除下實，便為上價細推尋。

中國古代的方程是直列呈現的（請參閱蘇俊鴻〈矩陣的高斯消去法〉一文），不同於今日的橫式表現方式。不過，讀者只要將熟悉的二元一次聯立方程組轉成直的，配合方程歌中的右上、左中下（左中及左下）等操作，就能求得正確的解。以《算法統宗》所載之例「今有馬三匹、牛二頭共價銀一百一十四兩，又馬四匹、牛五頭共價一百六十二兩五錢。問馬、牛價各若干」說明：

由上述的例子可看出，「二色方程歌」仍無異於《九章算術》的解法，只是多了巧思，將過程用韻文的方式呈現，讓讀者易於記誦然後依樣操作。除了「二色方程歌」外，《算法統宗》中還有「三色方程歌」與「四色方程歌」，在此僅抄錄「三色方程歌」以饗讀者。

 三色方程法更奇，物價三行作左基。左右互乘須減盡，中下價餘左位宜；
又列二行仍乘減，中中左中減無餘；下餘為法價除實，法實相除下價知。

參考資料：

1. 明‧程大位，《算法統宗》，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷一，鄭州：河南教育出版社，1993。
2. 李迪主編 (1999). 《中國數學史大系第六卷》，北京：北京師範大學出版社。