我們同一天生日（二）！（We have the same birthday!）
我們同一天生日（二）！（We have the same birthday!）
臺北市立和平高中黃俊瑋教師
連結：我們同一天生日（一）！（We have the same birthday!）
〈我們同一天生日（一）〉一文中討論了下述問題：某一群人數共有 \(n\) 人，其中有某 \(2\) 個人同一天生日的機率為何？特別地，當這群人的人數到達 \(23\) 人以上時，有某 \(2\) 個人同一天生日的機率將大於 \(1/2\)。
該文中利用反面作法，先計算 \(n\) 個人生日皆不同天的機率為：
\(\frac{{365}}{{365}} \times \frac{{364}}{{365}} \times \frac{{363}}{{365}} \times\cdots\times \frac{{365 – n + 1}}{{365}}\)。
因此，\(n\) 個人當中有某 \(2\) 個人同一天生日的機率為：
\(1 – \left( {\frac{{365}}{{365}} \times \frac{{364}}{{365}} \times \frac{{363}}{{365}} \times\cdots\times \frac{{365 – n + 1}}{{365}}} \right)\) 。
欲計算不同的 \(n\) 相對應的機率，除了可以利用計算機與電腦之外，我們還可以利用對數的概念與查表的方式，計算出上述各機率值。這裡先來看看人數為 \(4\) 個人時的例子。
首先，計算出四個人生日皆不同天的機率 \(\frac{{364}}{{365}} \cdot \frac{{363}}{{365}} \cdot \frac{{362}}{{365}}\)，這裡我們取常用對數：
\(\begin{array}{ll}\log (\frac{{364}}{{365}} \cdot \frac{{363}}{{365}} \cdot \frac{{362}}{{365}})&=\log 364+\log 363+\log 362-3\log 365 \\ &=\log (3.64 \cdot {10^2}) + \log (3.63 \cdot {10^2}) + \log (3.62 \cdot {10^2}) \\&~~~- 3 \cdot \log (3.65 \cdot {10^2})\\&=\log 3.64 + \log 3.63 + \log 3.62 – 3 \cdot \log 3.65\end{array}\)
