我們同一天生日（一）！（We have the same birthday!）

我們同一天生日（一）！（We have the same birthday!）
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

生活中，許多人聚會的場合裡，不免會討論生日或星座問題。也許你會發現，當人數夠多時，總是會發生某兩人同一天生日的情況。特別是在同一個班級裡，人數動輒 \(40\) 人或更多時，總會有某兩個同學同一天生日，看起來非常不可思議。所謂有緣來相聚，這是巧合嗎？還是天註定？一群人裡，有某兩人要剛好同一天生日的機率直觀上似乎很低，但真是如此嗎？數學將帶你看穿真相！

以下，我們不考慮 \(2\) 月 \(29\) 日生日，僅考慮一年 \(365\) 天的一般情況。

首先，兩個人恰好在同一天生日的機率為 \(\frac{{C_1^{365}}}{{{{365}^2}}}\)，

亦即從一年 \(365\) 天當中選出一天將某這兩個人的生日塞進去。

或者你也可想成第一個人不指定哪一天，但第二個人必與第一個人同一天生日，

故機率為 \(\frac{{365}}{{365}} \cdot \frac{1}{{365}} = \frac{1}{{365}}\) 此值約為 \(0.0027\)。一片生日蛋糕（A piece of cake）！

接著，三個人當中有某 \(2\) 個人同一天生日的機率呢？我們設三個人分別為甲、乙、丙這時，這時有二種可能的情況：1.甲乙丙三人同一天生日。2.甲乙丙當中恰有二人同一天生日。

因此，三個人當中有某 \(2\) 個人同一天生日的機率為：

\(\frac{{365}}{{365}} \cdot \frac{1}{{365}} \cdot \frac{1}{{365}} + C_2^3(\frac{{365}}{{365}} \cdot \frac{1}{{365}}) \cdot \frac{{364}}{{365}} = \frac{{398945}}{{{{365}^3}}}\)

此值約等於 \(0.0082\)，千分之八，似乎沒有直觀上的低。當四個人時呢，有可能四個人皆同一天生日，或者四人中恰有三人同一天生日，又或者四人中恰有二人同一天生日等三種情況。換言之，當人數越多時，所有可能的情況益加複雜。

人不轉路轉，路不轉人轉，人不轉機率轉。我們採取反面作法，扣除掉不合情況的機率！亦即扣掉所有人都不同天生日的機率。

由於，第一個人並未指定，其生日可以是 \(365\) 天中的任一天，第二個人的生日需要與第 \(1\) 個人不同天，所以有 \(364\) 種可能性，而第三人需與前 \(2\) 人不同天，因此，有 \(363\) 種可能性。於是，三個人生日皆不同天的機率為 \(\frac{{365}}{{365}} \cdot \frac{{364}}{{365}} \cdot \frac{{363}}{{365}}\)。這時，可知三個人中有某 \(2\) 個人同一天生日的機率即為 \(1 – (\frac{{365}}{{365}} \cdot \frac{{364}}{{365}} \cdot \frac{{363}}{{365}})\)，只需按按計算機便可算出此值約為 \(0.0082\)。

類似地，四個人生日皆不同天的機率為 \(\frac{{365}}{{365}} \cdot \frac{{364}}{{365}} \cdot \frac{{363}}{{365}} \cdot \frac{{362}}{{365}}\) 。故四個人當中有某 \(2\) 個人同一天生日的機率為 \(1 – \left( {\frac{{365}}{{365}} \cdot \frac{{364}}{{365}} \cdot \frac{{363}}{{365}} \cdot \frac{{362}}{{365}}} \right)\)，同樣可利用計算機可算出此值約為 \(0.0165\)。

依此類推，隨著人數越多，機率值也持續上升。
如果我們一直計算下去，會發現：當人數到達 \(23\) 人時，那麼當中有兩人同一天生日的機率為 \(1 – \left( {\frac{{365}}{{365}} \times \frac{{364}}{{365}} \times \frac{{363}}{{365}} \times\cdots\times \frac{{343}}{{365}}} \right)\)，約為 \(0.507\)！此值略大於 \(1/2\)。是不是很神奇呢？

一般而言，\(n\) 個人當中有某 \(2\) 個人同一天生日的機率為：

\(1 – \left( {\frac{{365}}{{365}} \times \frac{{364}}{{365}} \times \frac{{363}}{{365}} \times\cdots\times \frac{{365 – n + 1}}{{365}}} \right) = 1 – \frac{{P_n^{365}}}{{{{365}^n}}} = 1 – \frac{{365!}}{{{{365}^n}(365 – n)!}}\)

由此可計算造出 \(n\) 個人當中有二個人同一天生日的機率為對照表（如表一所示）。

表一 \(n\)個人當中有兩個人同一天生日的機率對照表

依上述結果來看，假如某教師初來乍到任教班上，且班上人數超過 \(23\) 人時，不妨和這些學生玩個遊戲，猜或賭一下班上是否有二個學生同一天（甚至多加入老師自己），相信會讓同學們大感驚奇！當人數 \(40\) 人以上甚或接近 \(50\) 人時，有九成以上的信心，可以大膽且篤定地說出有兩個人同一天生日。

總結來說，若指定一群人中有兩個人在「特定某一天」生日的機率較小，例如 \(3\) 個人當中有 \(2\) 人在1月1日生日。但是若不指定這二個人要在哪一天生日的話，就如同本文所述，機率比直觀上來得大上許多！當這群人的人數夠多時，一切並非單純的巧合，而是數學上或者機率上所註定的結果。

連結：我們同一天生日（二）！（We have the same birthday!）

參考資料：

• 文中所引機率表參考自《機率好好玩》一書，張振華著