弱大數法則 | 科學Online

大數法則（5）強大數法則（Law of large numbers-5. Strong law of large numbers）

2011/09/25

有 2 則迴響

大數法則（5）強大數法則（Law of large numbers-5. Strong law of large numbers）
國立高雄大學應用數學系黃文璋教授/國立高雄大學應用數學系黃文璋教授責任編輯

連結：大數法則（4）弱大數法則

摘要：延續上一篇的「弱大數法則」，本文介紹相對於機率收斂更強的「強大數法則(strong law of large numbers)」，最後以一例說明兩種不同收斂方式的差別。

對於上一節事件 \(A\) 發生的相對頻率 \(f_n(A)=n(A)/n\)，我們想知道 \(n\rightarrow\infty\) 時，其極限行為。

直觀上，由弱大數法則，會認為：\((1)~~~\lim_{n\to \infty} f_n(A)=p\)

其中 \(p=P(A)\)。但我們知道此並不正確。因極限不見得要存在，且即使存在，也不見得是 \(p\)。

對 \(n\geq 1, f_n(A)\) 有時恆為 \(0\)，有時恆為 \(1\)。前者的極限為 \(0\)，後者的極限為 \(1\)。

我們最多可以問的是：是否對『幾乎所有』(almost all)回的觀測，\((1)\) 式皆成立？

繼續閱讀→

大數法則（4）弱大數法則（Weak law of large numbers）

2011/09/23

沒有迴響

大數法則（4）弱大數法則（Law of large numbers-4. Weak law of large numbers）
國立高雄大學應用數學系黃文璋教授/國立高雄大學應用數學系黃文璋教授責任編輯

連結：大數法則（3）巨數法則

摘要：本文從「伯努力試驗(Bernoulli trial)」談起，說明「大數法則」的主要內涵，進而介紹「弱大數法則(weak law of large numbers)」，並釐清常見的誤解。

大數法則又稱大數率或平均法則(law of averages)。由於有大數法則，使得在不確定性(uncertainty)中，我們仍能掌握一些確定性(certainty)；在混亂(chaos)中，仍有其秩序(order)。大數法則是說：若一實驗（或觀測），能持續且重複地進行，則觀測值之平均，將任意接近期望的成果。比較正式一點的說，就是隨機所產生樣本之平均，當樣品數很大，將有很大的機率，接近母體之平均。

機率論早期的發展，常對某件事是否發生有興趣。如：投擲銅板是否出現正面？玩撲克牌得到 \(3\) 條等。換句話說，對只有兩個結果的觀測有興趣。以 \(X_i=1\)，表第 \(i\) 次觀測該事件發生，\(X_i=0\)，表第 \(i\) 次觀測該事件未發生。如此觀測到一串 \(0,1\) 的數列。

繼續閱讀→