ν =5/2 & 7/2，分數量子霍爾態與向列相，從拓樸序到自發對稱性破壞
ν =5/2 & 7/2，分數量子霍爾態與向列相，從拓樸序到自發對稱性破壞
蕭維翰
實驗上已經觀察到在半導體中 ν=5/2 & 7/2 不僅僅可以是量子霍爾態，還可以透過改變壓力產生的相變化，自發地破壞旋轉對稱性。
Figure1. (Photo credit: 作者自繪) 根據文獻 [3]，在增加的壓力下，原本的量子霍爾態會先變成向列態最後變成一般的費米液體。
霍爾效應
v=5/2 量子霍爾態之謎（上）
v=5/2 量子霍爾態之謎（上）
蕭維翰
v=5/2到底發生了什麼事？這是研究霍爾效應的學者們近年來最關切的問題之一。
筆者曾用了三四篇文章來討論霍爾效應。從經典的整數量子霍爾效應（IQHE）、分數量子霍爾效應（FQHE）、複合費米子（Composite Fermion）到最近重新掀起討論的 \(v=\frac{1}{2}\) 費米液體態（Fermi Liquid）。在本文中筆者想延伸這些故事，討論另一個實驗上被觀測到的著名的偶數分母的量子霍爾態——\(v=\frac{5}{2}\)，以及它所牽涉的謎團。
然而筆者必須先在此自白：量子霍爾效應並不算是最好的科普題材。儘管這個問題的組成元素很基本：電子、庫倫作用與垂直的磁場。但真的要進行定量說明的時候，我們很難避免討論一些比較生硬的概念，比如說磁通量附著（flux attachment）與測試波函數（trial wavefunction）。而且事實上除了一些拓樸性質，譬如電導率的係數 v，即便最前沿的計算也很難給出很好的解析結果。絕大多數我們必須倚賴數值計算，從而失去一些直覺。
【物理世界】量子霍爾效應（四）：迪拉克複合費米子
【物理世界】量子霍爾效應（四）：迪拉克複合費米子
蕭維翰
這兩年物理學家提出了新的粒子電動對稱的理論解釋最低蘭道階（Landau Level）的物理，此新模型不再透過將磁通量附著到原粒子身上，而是藉由粒子漩渦對偶性，用更自然的方法去闡述一些實驗上觀測到的現象。
圖一：在最低蘭道階中的粒子電洞轉換。\(\nu\) 填滿態會被轉換到 \(1-\nu\) 填滿態，而 \(\nu =\frac{1}{2}\) 擁有粒子電洞的對稱性。
在前面幾篇文章中，我們介紹了量子霍爾效應的現象，並為分數與整數量子效應提供一些解釋。再者我們討論了 Jain 的複合費米子理論，指出實驗上觀測到的分數 \(\frac{1}{3},~\frac{2}{5},~\frac{3}{7},…\) 或 \(\frac{2}{3},~\frac{3}{5},…\) 等，都能被 Jain 序列所說明。在結尾處，我們指出 Jain 序列的極限是 \(\frac{1}{2}\)，在那個狀況下，複合費米子看不到磁場，並形成一個費米液體。針對這個問題， HLR 是一個知名的有效理論。
【物理世界】量子霍爾效應（三）：複合費米子
【物理世界】量子霍爾效應（三）：複合費米子
蕭維翰
連結：【物理世界】量子霍爾效應（二）：分數量子化與 Laughlin 波函數
在 Laughlin 波函數後，J. Jain 提出了複合費米子的概念，將整數量子霍爾效應與分數量子霍爾效應結合在一個框架下，並成為研究量子霍爾效應的一個典範。
本圖引自1990年6月22《科學》雜誌封面，courtesy of illustration T. S. Duff and T. Kovacs, AT&T Bell Laboratories
儘管 Laughlin 波函數從定量的角度提供了當時人們了解某些分數霍爾態的出發點，它並不稱得上是一個完整的「故事」。另一方面，它的成功也多侷限於 \(\frac{1}{3},~\frac{1}{5}\) 等分數，而不涵蓋其他如 \(\frac{2}{5},~\frac{3}{7}\) 等也在實驗中被發現的狀態。
【物理世界】量子霍爾效應（一）：塵埃中洗滌出的整數
【物理世界】量子霍爾效應（一）：塵埃中洗滌出的整數
蕭維翰
真的要寫量子霍爾效應，可以寫好幾本書，要從最尖端的進展切入，也會讓讀者摸不著頭緒，這邊我分稿從歷史的起源開始，並只挑一些聽起來真的可以令所有人驚訝的面向。
圖一：霍爾效應的實驗圖示，原本往 x 方向流的電賀受到磁場的影響在 y 方向也形成電壓，變成實驗上可以測量的霍爾電壓, credit: wikipedia
筆者儘管基於工作很常算數學，但上大學後幾乎不常親自動手做數字計算了。前幾個月我在電腦上送出一個滿複雜的積分，幾秒後我得到
\(\displaystyle\frac{-12.56637062125499}{4\pi}\)
不知道讀者們平常做算術的頻率如何，在作業中遇到這種數字會不會覺得很沮喪？分子那一串數字已經無跡可尋，何況底下還除一個 \(4\pi\)？然而有趣是，在電腦有效的位數下，這個組合其實跑出了── \(-1.00000000000000\)
霍爾效應
霍爾效應 (Hall effect)
臺中縣縣立中港高級中學物理科王尊信老師/國立彰化師範大學物理系洪連輝教授責任編輯
霍爾效應(Hall effect) 在 1879 年由 Edwin Hall 發現，其是指將一固體導體（假設固體為一長方體，長邊沿著 \(x\) 軸方向、寬沿著 \(z\) 軸方向且寬度為 \(w\)、高沿 \(y\) 軸方向且寬度為 \(d\)，較好分析）通電流，並放置於磁場中，而在導體表面產生電位差的情形，原因很簡單，若導體之電流方向為 \(x\)，外加磁場方向為 \(z\)，則不論導體中的非束縛電荷帶正電或負電，根據勞倫茲力 \(F=q(E+v\times B)\)，都會往 \(-y\) 的方向漂移而產生電位差，此電位差稱為霍爾電壓(Hall voltage)，而霍爾電壓，可根據勞倫茲力，計算其電、磁力平衡得到，其推導如下：