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ν =5/2 & 7/2，分數量子霍爾態與向列相，從拓樸序到自發對稱性破壞
蕭維翰

實驗上已經觀察到在半導體中 ν=5/2 & 7/2 不僅僅可以是量子霍爾態，還可以透過改變壓力產生的相變化，自發地破壞旋轉對稱性。

前陣子讀者曾撰寫了一系列關於量子霍爾效應（Hall effect）的文章，其中有數篇討論了 \(\displaystyle \nu=\frac{5}{2}\) 的基態該是什麼：究竟是 Pfaffian, anti-Pfaffin, 還是 PH-Pfaffian，或者都不是等等。即便在理論上這個議題依舊懸而未決，這幾年的實驗進展卻沒有給理論學家喘息的空間，反之，越來越多的新發現讓分數量子霍爾效應所牽涉的物理更加豐富，也讓學者們困惑同時又嚮往。

蘭道的典範之一：費米液體（二）
蕭維翰

為什麼準粒子假設會重要，而又有哪些物理不在費米液體的領域之內呢？

在上文中我們提供了一些歷史故事，希望提供讀者們一點探討一個標準教科書材料的理由。而在本文中繼續前文未完結的伏筆，並在最後稍稍討論有哪些已知的事實是已經超越「蘭道典範」。

我們首先複習蘭道費米液體的基本概念。在三維空間中，如果一個費米系統具有一個尖銳的費米面與伽利略對稱性，蘭道說明，在費米面附近的低能量自由度是一堆準粒子（quasi-particle）。假設準粒子間的交互作用是絕熱地被打開的，這些由準粒子定義的低能量物理激發態，跟完全沒有交互作用的費米氣體的能量激發態有一對一的對應關係。

蘭道的典範之一：費米液體（一）
蕭維翰

本文中跟大家介紹一個古老、基本但歷久彌新的基本概念，希望讓大家開始了解一點平常大家嘴中的費米液體是什麼。

有時候筆者會猶豫要集中心力在介紹理論物理上最新鮮的點子還是花點時間跟大家說明一些已經成文的事實。就學習物理這種基礎科學的概念而言，應該要多少著墨後者，以免在學習新知的時候，鴨子聽雷事小，道聽塗說、以訛傳訛就就與科普的原意南轅北轍了。另一方面，就寫作的角度，著墨於對筆者本人是很吃力不討好的，一來並不刺激，二來成文的知識已有很多文獻可以閱讀，筆者的剖析未必能比任何現有的經典還要深刻—最省力的方法，就是丟給大家一本聖經的名字，讓有心人去細究。

然而，筆者同時也當過學生，深深明白—沒有人平白沒事會去找（原文、抽象、又充滿數學的）書看的。

v=5/2 量子霍爾態之謎（上）
蕭維翰

v=5/2到底發生了什麼事？這是研究霍爾效應的學者們近年來最關切的問題之一。

筆者曾用了三四篇文章來討論霍爾效應。從經典的整數量子霍爾效應（IQHE）、分數量子霍爾效應（FQHE）、複合費米子（Composite Fermion）到最近重新掀起討論的 \(v=\frac{1}{2}\) 費米液體態（Fermi Liquid）。在本文中筆者想延伸這些故事，討論另一個實驗上被觀測到的著名的偶數分母的量子霍爾態——\(v=\frac{5}{2}\)，以及它所牽涉的謎團。

然而筆者必須先在此自白：量子霍爾效應並不算是最好的科普題材。儘管這個問題的組成元素很基本：電子、庫倫作用與垂直的磁場。但真的要進行定量說明的時候，我們很難避免討論一些比較生硬的概念，比如說磁通量附著（flux attachment）與測試波函數（trial wavefunction）。而且事實上除了一些拓樸性質，譬如電導率的係數 v，即便最前沿的計算也很難給出很好的解析結果。絕大多數我們必須倚賴數值計算，從而失去一些直覺。

物理學中的對偶性(下)
蕭維翰

連結：物理學中的對偶性(上)

對偶性不只存在在前面的簡單例子中，其實我們也有費米子與玻色子、玻色子與玻色子、乃至於費米子與費米子間的對偶性。

在上集的討論中，我們約略介紹了「對偶」（duality）在物理學中，的意思：表面上看起來不同的兩個理論，本質上提供一樣的描述。最基本的例子是所謂伊辛模型（Ising model）在原晶格與對偶晶格上的對偶，以及電磁學馬克斯威方程式（Maxwell equations）在沒有電荷下電場磁場交換的對偶性。

物理學中的對偶性(上)
蕭維翰

無論在文學或科學的場合，對偶性的追求，都不僅是形式美的提升，而是對所欲描繪的物件做出更深刻表述的嘗試。

筆者希望以這兩年火紅的對偶描述為量子霍爾效應作小結，但在這之前，有必要另開篇幅跟大家聊聊所謂的對偶是什麼。

對偶是漢語傳統文學的一種修辭技術，又稱對仗，常以字數相符的句子兩兩配成（若討論元曲，也可見三句配成的鼎足對）依據創作體裁的不同，在配對的格律要求會略有出入，但詞性相匹，聲韻相對是基本原則，一個雋永的例子是晏幾道一闋臨江仙的首對「夢後樓臺高鎖，酒醒簾幕低垂。」[1]。

【物理世界】量子霍爾效應（四）：迪拉克複合費米子
蕭維翰

連結：【物理世界】量子霍爾效應（三）：複合費米子

這兩年物理學家提出了新的粒子電動對稱的理論解釋最低蘭道階（Landau Level）的物理，此新模型不再透過將磁通量附著到原粒子身上，而是藉由粒子漩渦對偶性，用更自然的方法去闡述一些實驗上觀測到的現象。

在前面幾篇文章中，我們介紹了量子霍爾效應的現象，並為分數與整數量子效應提供一些解釋。再者我們討論了 Jain 的複合費米子理論，指出實驗上觀測到的分數 \(\frac{1}{3},~\frac{2}{5},~\frac{3}{7},…\) 或 \(\frac{2}{3},~\frac{3}{5},…\) 等，都能被 Jain 序列所說明。在結尾處，我們指出 Jain 序列的極限是 \(\frac{1}{2}\)，在那個狀況下，複合費米子看不到磁場，並形成一個費米液體。針對這個問題， HLR 是一個知名的有效理論。

【物理世界】量子霍爾效應（一）：塵埃中洗滌出的整數
蕭維翰

真的要寫量子霍爾效應，可以寫好幾本書，要從最尖端的進展切入，也會讓讀者摸不著頭緒，這邊我分稿從歷史的起源開始，並只挑一些聽起來真的可以令所有人驚訝的面向。

筆者儘管基於工作很常算數學，但上大學後幾乎不常親自動手做數字計算了。前幾個月我在電腦上送出一個滿複雜的積分，幾秒後我得到

\(\displaystyle\frac{-12.56637062125499}{4\pi}\)

不知道讀者們平常做算術的頻率如何，在作業中遇到這種數字會不會覺得很沮喪？分子那一串數字已經無跡可尋，何況底下還除一個 \(4\pi\)？然而有趣是，在電腦有效的位數下，這個組合其實跑出了── \(-1.00000000000000\)

電磁對偶（S-Duality）與歐姆定律（下）
蕭維翰

連結：電磁對偶（S-Duality）與歐姆定律（上）

本文中我們以一個幼稚園版本的例子說明電磁對偶性如何幫助我們計算材料的電導率。

在上文中筆者闡述了想解決的問題，也就是電阻 / 電導的計算，並透過費曼圖的角度嘗試去說服讀者這是個困難的問題，接著也複習了電磁對偶性，並深入一點點，探討在什麼情況下它才是個不無聊的性質。

長話短說，我們需要一個沒有電荷、電流的空間，在邊界上有一個允許有電荷、電流的薄膜。

旋轉的玻色愛因斯坦凝聚態
蕭維翰

高中的物理課程中，我們學習動量、角動量，用這兩個量來量化一個物件平動狀態以及轉動的狀態。儘管大多數人在大學後不會再接觸更進階的物理課程，但事實上就描述運動狀態而言，也沒有更多新的物件了。

物理學的理論描述是盡量得跟實驗呼應的，也因此，即便是今日大如強子對撞機的尖端實驗，源頭的想法也都是想藉由動量、角動量等在交互作用的前後關係，去獲得物理資訊。

本文就來略談，當我們轉動一個流體，更精確地說，一個玻色愛因斯坦凝聚態（Bose-Einstein Condensate），什麼事情會發生。