實數的運算性質(Properties of the Real Number Arithmetic)

實數的運算性質(Properties of the Real Number Arithmetic)
國立中央大學數學系單維彰副教授/國立中央大學數學系單維彰副教授責任編輯

雖然實數（無理數那一部份）的本質與有理數不同，不能直接回溯至具體的自然數運算，但人們憑著直覺如同有理數般使用實數幾百年之後，才在十九世紀有人發現這些運算規則是需要證明的；幸好，它們也都被證明是正確的了。在此我們並不舉出那些證明，而因循前人的直覺，直接將有理數的運算性質移植到實數上。因為實數繼承有理數的運算規則，有理數繼承自然數的運算規則，所以，實數運算規則的根本理由，就是自然數運算規則。

以下，我們令 $$x$$、$$y$$、$$z$$ 都代表實數；除非在項目中特別聲明它們的關係，否則都是任意的實數。整理了每一項的實數運算性質之後，我們略加闡述它的用途。因為關於有理數的範例在另一篇已經列舉過，所以此篇以無理數為主。

• 實數的加法結合律：$$(x+y)+z=x+(y+z)$$
• 實數的加法交換律：$$x+y=y+x$$
  結合律和交換律使我們可以做習慣性的同類項整理，
  例如  $$\sqrt{3}+3+\sqrt{2}+2=(2+3)+\sqrt{3}+\sqrt{2}=5+\sqrt{2}+\sqrt{3}$$
• 實數的加減互逆：如果 $$x+y=z$$，則 $$x=z-y$$
  它的逆命題也成立，因為只要將 $$y$$ 置換成 $$-y$$ 就是說如果 $$x-y=z$$，則
  $$x=z-(-y)=z+y$$
• 實數的乘法結合律：$$(xy)z=x(yz)$$
• 實數的乘法交換律：$$xy=yx$$
  例如 $$\sqrt{2}\sqrt{3}=\sqrt{3}\sqrt{2}$$。交換律和結合律使我們能夠推論 $$\sqrt{2}\sqrt{3}=\sqrt{6}$$。
  理由是 $$(\sqrt{2}\sqrt{3})^2=(\sqrt{2}\sqrt{3})(\sqrt{2}\sqrt{3})$$，
  需要結合律等於 $$\sqrt{2}(\sqrt{3}\sqrt{2})\sqrt{3}$$，
  再依據交換律等於 $$\sqrt{2}(\sqrt{2}\sqrt{3})\sqrt{3}$$，
  然後用結合律等於 $$(\sqrt{2}\sqrt{2})(\sqrt{3}\sqrt{3})=(\sqrt{2})^2(\sqrt{3})^2=2\times 3=6$$；
  因為 $$(\sqrt{2}\sqrt{3})^2=6$$，所以 $$\sqrt{2}\sqrt{3}=\sqrt{3}\sqrt{2}$$。
• 實數乘法對加法的分配律：$$x(yz)=xy+xz$$
  使我們可以做習慣性的同類項整理，例如 $$\begin{array}{ll}(1+\sqrt{2})^2&=(1+\sqrt{2})(1+\sqrt{2})\\&=1+\sqrt{2}+\sqrt{2}+2=3+(1+1)\sqrt{2}=3+2\sqrt{2}\end{array}$$
• 實數的乘除互逆：如果 $$y\ne 0$$ 且 $$\displaystyle\frac{x}{y}=z$$，則 $$x=yz$$
  可以用來推論繁分式的計算規則。例如 $$\frac{x}{\frac{1}{y}}=z$$，則 $$x=z(\frac{1}{y})=\frac{z}{y}$$，所以 $$xy=z$$；也就是說 $$\frac{x}{\frac{1}{y}}=xy$$。乘除互逆的逆命題也成立，因為只要將 $$y$$ 置換成 $$\frac{1}{y}$$，經過繁分式化簡，就是說如果 $$xy=z$$，則 $$x=\frac{z}{y}$$。

實數跟自然數一樣符合等量公理，而等量公理就是移項和交叉相乘的原理。等量公理是說…

• 等量加等量，其值相等：如果 $$x=y$$，則 $$x+z=y+z$$
• 等量乘以等量，其值相等：如果 $$x=y$$，則 $$xz=yz$$

對於實數，我們不再列舉減法和除法的等量公理。因為 $$x-y=x-(-y)$$，當 $$z\ne 0$$，則 $$\frac{x}{z}=x(\frac{1}{z})$$，所以加法和乘法的等量公理包含了減法和除法的。

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