點到直線的距離公式

點到直線的距離公式 (The Formula of the distance from a point to a line)
臺北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師

99課綱中將圓與直線的單元放在平面向量之前，進而討論圓與直線的關係時，特別強調運用圓與直線的聯立方程式之解的形態(相等實根、兩相異實根，及沒有實根) 的「代數判定」方法。儘管此法的使用具有一般性，但計算通常較為繁雜。因此，老師通常還會介紹點到直線的距離公式，利用圓心與直線的距離來判斷兩者的關係。

然而，此距離公式的介紹常借助向量方法進行證明，使得許多老師倡議將圓與直線與平面向量兩個單元互換。不過，僅僅為了一個公式的證明大費周章，並且，更動後也涉及平面上直線的向量表示和直線方程式之間的調整問題。本文中提出幾個在99課綱中無須調動次序，也可達到證明點到直線的距離公式之目標的證法。

證法一：(過 \(P\) 點作直線 \(L\) 的垂線，找垂足 \(H\))

如右圖，作 \(\overline{PH}\) 垂直 \(L\) 於 \(H\)，

則直線 \(PH\) 方程式為 \(bx-ay=bx_0-ay_0\)

解聯立方程式 \(\left\{ \begin{array}{l} ax + by + c = 0\\ bx – ay = b{x_0} – a{y_0} \end{array} \right.\)，

即得 \(\displaystyle H(\frac{{{b^2}{x_0} – ab{y_0} – ac}}{{{a^2} + {b^2}}},\frac{{ – ab{x_0} + {a^2}{y_0} – bc}}{{{a^2} + {b^2}}})\)

進而 \(\begin{array}{ll} d(P,L) &=\displaystyle \overline {PH}= \sqrt {{{({x_0} – \frac{{{b^2}{x_0} – ab{y_0} – ac}}{{{a^2} + {b^2}}})}^2} + {{({y_0} – \frac{{ – ab{x_0} + {a^2}{y_0} – bc}}{{{a^2} + {b^2}}})}^2}}\\&=\displaystyle\sqrt {\frac{{{{(a{x_0} + b{y_0} + c)}^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}}= \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\end{array}\)

此法概念簡單，直接硬算，但整體過程不算複雜，可鼓勵學生嘗試。

證法二：(若 \(A\) 為直線 \(L\) 上任一點，則 \(\overline{AP}\) 的最小值\(=\)點 \(P\) 到直線 \(L\) 的距離)

令 \(A(x,y)\) 為直線 \(L\) 上任一點，則 \(ax + by + c = 0 \Rightarrow y = \frac{{ – 1}}{b}(ax + c)\)

\(\begin{array}{ll}\displaystyle{\overline {AP} ^2} &=\displaystyle {(x – {x_0})^2} + {(y – {y_0})^2} = {(x – {x_0})^2} + \frac{1}{{{b^2}}}{(ax + c – {y_0})^2} \\&=\displaystyle\frac{1}{{{b^2}}}[({a^2} + {b^2}){x^2} + 2( – {b^2}{x_0} + ab{y_0} + ac)x + {b^2}{x_0}^2 + {(b{y_0} + c)^2}]\end{array}\)

利用二次函數的性質，當 \(\displaystyle x =\frac{{{b^2}{x_0} – ab{y_0} – ac}}{{{a^2} + {b^2}}}\) 時，有最小值。

此時，\(\displaystyle x = \frac{{{b^2}{x_0} – ab{y_0} – ac}}{{{a^2} + {b^2}}}\)

故 \(\begin{array}{ll} d(P,L) &=\displaystyle \sqrt {{{(\frac{{{b^2}{x_0} – ab{y_0} – ac}}{{{a^2} + {b^2}}} – {x_0})}^2} + {{(\frac{{ – ab{x_0} + {a^2}{y_0} – bc}}{{{a^2} + {b^2}}} – {y_0})}^2}} \\&=\displaystyle \sqrt {\frac{{{{(a{x_0} + b{y_0} + c)}^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}}=\frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\end{array}\)

事實上，發生最小值的 \(A\) 點即為證法一所求出的垂足 \(H\)。利用兩點距離的最小值來求點到直線距離的作法具有一般性，也是空間中解決點到直線距離的主要方法。

證法三：(利用三角形面積)

如右圖，過點 \(P(x_0,y_0)\) 分別作鉛直線和水平線交直線 \(L\)

於 \(A({x_0}, – \frac{{a{x_0} + c}}{b})\)、\(B(-\frac{{b{y_0}+c}}{a},{y_0})\)

\(\Delta APB\text{的面積} = \frac{1}{2}\overline {PA}\times \overline {PB}= \frac{1}{2}\overline {AB}\times\overline{PH}\)

又

\(\overline {PA}\displaystyle= \left| {{y_0} – ( – \frac{{a{x_0} + c}}{b})} \right| = \left| {\frac{{a{x_0} + b{y_0} + c}}{b}} \right|\\\overline {PB}\displaystyle= \left| {{x_0} – ( – \frac{{b{y_0} + c}}{a})} \right| = \left| {\frac{{a{x_0} + b{y_0} + c}}{a}} \right|\\\overline {AB}=\displaystyle\sqrt {{{({x_0} + \frac{{b{y_0} + c}}{a})}^2} + {{({y_0} + \frac{{a{x_0} + c}}{b})}^2}}= \sqrt {{a^2} + {b^2}} \left| {\frac{{a{x_0} + b{y_0} + c}}{{ab}}} \right|\)

因此，\(d(P,L)=\displaystyle\overline{PH}=\frac{\overline{PA}\times\overline{PB}}{\overline{AB}}=\frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

利用三角形面積的高來求距離，也是另一種常見的作法。

證法四：(利用三角函數)

如右圖，過點 \(P(x_0,y_0)\) 作水平線交直線 \(L\) 於

\(\displaystyle B( – \frac{{b{y_0} + c}}{a},{y_0})\) 且 \(L\) 與 \(x\) 軸的正向夾角為 \(\theta\)。

直線 \(L:ax+by+c=0\) 的斜率 \(m=-\frac{a}{b}=\tan\theta\)

則 \(\displaystyle\sin \theta= \sin (\pi-\theta)=\frac{{\left| a \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

則 \(\begin{array}{ll}\displaystyle\overline {PH}&=\displaystyle\overline {PB} \sin \theta\\&=\displaystyle \left| {\frac{{a{x_0} + b{y_0} + c}}{a}} \right|\frac{{\left| a \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\\&=\displaystyle \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\end{array}\)

此一證法運用學生剛學過的三角函數，也說明了正切函數 \((\tan\theta)\) 與斜率之間的關係，用來證明點到直線的距離恰到能呼應99課綱的安排，此法最早見於內壢高中林協億老師寫於數學學科中心電子報第60期〈九九課綱中，點到直線距離公式的詮釋〉一文。

上述所提四種證法都能避開向量的使用，同時，所運用的證明概念也具有一般性，老師們在介紹點到直線的距離公式時或可一試！

參考資料：

1. 林協億，〈九九課綱中，點到直線距離公式的詮釋〉，數學學科中心電子報第60期(http://mathcenter.ck.tp.edu.tw/Resources/ePaper/Default.aspx?id=60)。
2. 郭慶章，〈也談點與直線的距離公式〉。