碰撞（Collision）

碰撞（Collision）
國立臺灣師範大學物理系李聖尉碩士生/國立臺灣師範大學物理系蔡志申教授責任編輯

高中生對於物理最困惑的其中之一便是為何一簡單的碰撞現象，卻要學到陌生的動量（momentum）與衝量（impulse）。我們都知道大卡車與腳踏車對撞，腳踏車一定會反彈，但這僅限於兩質量相差甚大之物體。如果是為兩質量相近的物體碰撞，此時便無從猜出碰撞後之情況，更遑論想要定量分析碰撞後之結果。為了詳細瞭解碰撞的現象，我們必須引入一物理量－動量，來描述之。

在此我們考慮理想情況[註1]：兩物體碰撞時，只有雙方之間互相施力，因屬不受“外力”作用於此系統（兩物體）的情況，我們可稱此系統為「動量守恆」；另一方面，既不受外力，便不會有能量的進出，此為「能量守恆」。依據以上兩關係，便可列出下列兩方程式：

動量守恆：$$m_1v_1+m_2v_2=m_1v^{‘}_1+m_2v^{‘}_2~~~~~~~~~(1)$$

能量守恆：$$\displaystyle\frac{1}{2}m_1v^{2}_1+\frac{1}{2}m_2v^{2}_2=\frac{1}{2}m_1{v^{‘}_1}^2+\frac{1}{2}m_2{v^{‘}_2}^2$$

在此設兩質量各為 $$m_1$$、$$m_2$$ 物體，其初速度各為 $$v_1$$、$$v_2$$；末速度各為 $$v^{‘}_1$$、$$v^{‘}_2$$。而對動量言之，是為向量物理量，理應加上向量符號，在此只考慮一維方向[註2]。可省略向量符號，並以正負號代替方向（如以水平軸為例，向右方為正值；向左方為負值）。改寫上述聯立方程：

$$\Rightarrow\left\{\begin{array}{llr}m_1(v_1-v^{‘}_1)&=m_2(v^{‘}_2-v_2)&(2)\\m_1(v^2_1-{v^{‘}_1}^2)&=m_2({v^{‘}_2}^2-v^2_2)&(3)\end{array}\right .$$

再把 $$(3)/(2)\Rightarrow v_1+v^{‘}_1=v_2+v^{‘}_2~~~~~~~~~(4)$$

移項為 $$v^{‘}_1=v_2+v^{‘}_2-v_1$$ 代回 $$(1)$$ 式，可得 $$\displaystyle v^{‘}_1=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1+\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_2$$

同理，把 $$(4)$$ 式移項為 $$v^{‘}_2=v_1+v^{‘}_1-v_2$$ 代回 $$(1)$$ 式，

可得 $$\displaystyle v^{‘}_2=\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_1-\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_2$$

因此可得：$$\Rightarrow\left\{\begin{array}{ll} v^{‘}_1&=\displaystyle\ \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1+\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_2\\ v^{‘}_2&=\displaystyle\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_1-\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_2\end{array}\right .$$

我們就此結果考慮一些特殊的情況：

$$\textbf{I}$$：$$m_1=m_2$$、被撞物 $$m_2$$ 靜止（$$v_2=0$$ ）。此條件代回結果式，可得：$$v^{‘}_1=v_2=0$$；$$v^{‘}_2=v_1$$。意味著兩物體於碰撞後速度互換。常見例子為撞球時常使用的定桿。

$$\textbf{II}$$：$$m_1\gg m_2$$、被撞物 $$m_2$$ 靜止（$$v_2=0$$ ）。此條件代回結果式，可得：$$v^{‘}_1\approx v_1$$；$$v^{‘}_2\approx 2v_1$$ 。意味著撞者碰撞前後幾無改變，被撞者會以二倍速彈開。常發生例子為沙石車撞人的車禍；此時沙石車速度不變，司機若沒有看到，通常是不會感覺到車故發生的。

$$\textbf{III}$$：$$m_2\gg m_1$$、被撞物 $$m_2$$ 靜止（$$v_2=0$$ ）。此條件代回結果式，可得：$$v^{‘}_1\approx -v_1$$；$$v^{‘}_2\approx 0$$ 。意味著撞者會等速率反彈，被撞者幾無感覺。簡單例子為踢出足球去撞擊牆壁，則足球被反彈而牆壁紋風不動！

最後，引述「物理學家的靈感抽屜」一書中的一段文章[註3]，希冀可加深讀者對於碰撞的看法：
女芭蕾舞者表演結束時，在一個半彎腿的姿勢後，向上一躍二英尺。地球為了要平衡她的動量，也跟著輕輕朝後跳了一下。它的軌道向下移了一個十兆分之一的原子大小的距離（十億兆分之一公分）。沒有人會覺得，可就是這麼精確地移了一下。

[註1] 碰撞又分為彈性碰撞、非彈性碰撞及完全非彈性碰撞等，在此僅考慮無能量損耗的情況，即彈性碰撞。
[註2] 若考量二維的動量守恆，則可列出二式子：（以 $$x$$、$$y$$ 方向為例）

水平方向：$$m_1v_{1x}+m_2v_{2x}=m_1v^{‘}_{1x}+m_2v^{‘}_{2x}$$
鉛直方向：$$m_1v_{1y}+m_2v_{2y}=m_1v^{‘}_{1y}+m_2v^{‘}_{2y}$$

[註3] 節錄自物理學家的靈感抽屜－雙人舞。

參考資料：
維基百科–碰撞  http://zh.wikipedia.org/zh-tw/碰撞