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數學史與數學教學之關連(History and Pedagogy of Mathematics, HPM)

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數學史與數學教學之關連(History and Pedagogy of Mathematics, HPM)
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生
教授責任編輯

HPM(International Study Group on the Relations between History and Pedagogy)是國際數學教育委員會(ICMI)的一個研究群,現在,我們也將它借用為數學(教育)的一個知識活動。因此,HPM既代表一個組織,也同時簡稱數學史融入數學教學的一種主張或方法。

Douris_Man_with_wax_tabletHPM研究群的組成動機完全出自對於數學的教與學之強烈關懷,因此,它的主要目的在於將數學「教好」或「學好」,而不是讓教師或學生去直接去教或學「數學史」,除非課堂中的「數學史」活動,可以切實地提升數學教育的成效。當然,如果因此導致教師或學生對「數學史」如醉如痴,那麼,她(他)們最終一定可以體會「數學史」乃是數學有機體不可分割的一部份,從而為數學的教與學賦予更深刻的意義。

這麼說來,我們又將如何為HPM賦予正當性呢?事實上,HPM的推動者從生物學的「重演說」(recapitulation)找到一種比喻(metaphor),這個學說認為「個體成長重演種系歷史,但過程濃縮!」(這一多半仿自皮亞傑的主張當然有其侷限,因此,視之為比喻即可)。正因為兒童心智成長與數學概念的歷史發展,「似乎」存在了平行關係(parallelism),所以,一旦教師擁有了數學史的素養,那麼,在他(她)的數學教學中,尤其是面對學生的學習困擾時,應該可以發揮更大的包容。

在數學史家這一邊,兒童學習數學的個別經驗,往往提供了極珍貴的角度,幫助他們觀照數學知識成長的曲折與艱辛!皮亞傑(Jean Piaget)認為兒童認知之個案,幫助吾人有了最好的機會研究邏輯、數學和物理知識等等發展。因為,他相信「知識在邏輯、理性的組織上所取得的進展,與其對應的心理發展過程,具有一種平行性」。

另一方面,皮亞傑的「兒童」也給了科學史家極深刻的啟發。科學史家孔恩(T. Kuhm)應邀為一群兒童心理學家演講因果概念發展時,坦承他所以懂得向過去科學家發問恰當的歷史問題,全是拜皮亞傑對兒童的研究所賜。此外,他還追憶他與科學大師A. Koyre初次會面的一段難忘對話:「我興緻勃勃地對他(Koyre)說,正是皮亞傑的兒童教我如何了解亞里斯多德的物理學。他竟然回答,是亞里斯多德物理學教導他去了解皮亞傑的兒童。」無論如何,他的回答總是確證了我所喜愛的皮亞傑所歸納的看法,那就是:個體知識的心理起源 (psychogenesis) 與科學史之間,的確存在了有意義的關聯。

底下,我們打算以三則教學或學習插曲,來說明數學史可以為數學教師在學生認知面向所帶來的啟發。第一則有關集合論教學,至於第二、三則則是關於符號代數之學習。

數學教育家L. E. Moreno A., G. Waldegg曾以皮亞傑理論為依據,發現墨西哥大學數學系大一、二學生對「無限」的了解僅止於布爾札諾(B. Bolzano)的階段,亦即他們只能知道一個集合是無限的,而無法像康托爾(G. Cantor)一樣,比較兩個無限集合的大小!從集合論的歷史來看,從布爾札諾到康托爾當然是一個關鍵,因為人類有史以來首次可以用實無限(actual infinity)來思考,成功地區別無限的等級,正是康托爾的不朽貢獻!

李忠哲老師曾提供某國一學生的生活札記一則,茲轉述如下:「我每天都幾乎有一節數學,我每天都在看黑板,老師寫的,自己慢慢的看,算法怎麼算,所以每天幾乎都可以理解了幾題。假如我有一個題目不懂,就去問○○○(某同學,姑隱其名)怎麼做?他做一遍給我看,我再把我寫的這一題寫的想法,告訴○○○,他糾正我的寫法,我也慢慢的懂了。我對數學有困難的是,不能容忍x, y, z是個數字,並算出一個答案,這是自己面臨到的一個困難,無法突破。」這是第一次段考後,該生檢討自己的數學學習時所寫下的心聲,這次段考範圍應該包括一元一次方程式這個單元。乍看之下,我們或許覺得該生是一位學習能力遲鈍的少年。不錯,他的表達能力確實有待加強(原文有多個錯別字,已經過改正),但是他能夠精確地敘述他自己對代數符號的困擾,則是極為難能可貴!

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1699年康熙皇帝讀書像(圖片來源:維基百科)

事實上,無法恰當了解代數符號意義的名人,在中外數學史上可多著呢!或許,康熙皇帝最難明白「新代數」,就是一個典型的例子。康熙皇帝曾向法國耶穌會士傅聖澤(J-F. Foucquet, 1665-1741)學習西方新代數,亦即符號代數。他在閱讀了傅聖澤所編寫的《阿爾熱巴拉新法》之後,發表了相當不以為然的評論:「論王道化:朕自起身以來,每日同阿哥等察阿爾熱巴拉新法,最難明白,他說比舊法易,看來比舊法愈難,錯處亦甚多,鶻突處也不少。前者朕偶爾傳於北京西洋人開數表之根,寫的極明白,爾將此論抄出,並此書發到京裡去,著西洋人共同細察,將不通的文章一概刪去。還有言者:甲乘甲、乙乘乙,總無數目,即乘出來亦不知多少,看起來想是此人算法平平爾。」由於康熙皇帝無法完全領悟符號運算的意義,因此,他抗拒了新代數的傳入,導致清代中國人到了1850年代李善蘭翻譯《代數學》(Elements of Algebra,作者是De Morgan),才有機會接觸符號代數。

誠然,無論是國一學生的「不能容忍x, y, z是個數字,並算出一個答案」,或者是康熙的「甲乘甲、乙乘乙,總無數目,即乘出來亦不知多少」,顯然都指出一個共同的認識論困境,那就是:代表未知數的符號究竟如何認識?然後,學習者才能心無罣礙地操作符號運算!如何恰當地認識代表未知數的符號,被數學教育家認為是介於算術代數之間的一種認知鴻溝 (cognitive gap) 。從數學史實來看,我們國一學生的學習困擾不乏先例。不管我們是否能夠更有效地幫助學生克服這一類的困擾,歷史的考察總是可以提醒我們:相對於古代數學家,我們今日的學生並沒有那麼遲鈍啊!

總之,無論是集合論的教學案例也好,或者是符號代數學的教學也好,數學史提供給我們的案例或「教訓」(moral)似乎都指出:除了極少數例外,人類認知似乎總有一定的階段,而且,從此一階段到下一階段,也總是需要比較從容的過渡或醞釀。因此,數學史的素養儘管無法保證教學評量的具體成效(如制式的考試成績),然而,有了數學史的素養,數學教師面對一般學生時,在心態上應該可以比較從容與包容才是。

最後,讓我們介紹數學史「融入」數學教室的一些 know-how,供有心採用的教師 參考:

●歷史「花絮」(snippets),譬如數學家的遺聞軼事、數學問題的起源以及古今 方法的簡單對比等等;

●學生以歷史文獻為本的研究專案(project work),譬如下列專題「一次方程 式:歷史的回顧」、「任意角三等分」、「何謂代數學?」、「函數的歷史演化」、「何謂非歐幾何?」以及「歐幾里得 vs. 劉徽」等等,都可以讓學生組成小組,寫出專案研究報告;

●數學史的原始文獻(primary sources),譬如《幾何原本》與《九章算術》的研讀與討論等等;

●工作單或學習單(worksheets),其設計通常圍繞著簡短的歷史選粹(historical extracts),伴隨著歷史背景的說明,再輔以了解數學知識內容的問題、所涉數學議題的討論、今昔解法或處理的比較,以及這些選粹中的題解(solving problems)或它們所引發的類似題解;

●可立即供2-3堂課使用的「歷史套裝」(historical packages),譬如「古代數碼與數系」、「古埃及算術」、「圓面積與圓周長」、「巴比倫的二次方程解法」以及「九章算術的分數計算」等等;

●恰當地使用歷史上出現的謬誤(errors)、另類概念(alternative conceptions)、觀點的改變(change of perspective)、隱含假設的修訂(revision of implicit assumptions)以及直觀論證(intuitive arguments)等等;

●歷史上的問題,譬如古希臘三大作圖題,Goldbach 猜測,不同文明所提供的畢氏定理證明,以及引出解析數論的質數定理等等;

●歷史上曾經出現的畫圖工具(mechanical instruments);

●回到過去的數學實驗活動,譬如使用古代的記號、方法及論證,來學習數學;

●編劇本,譬如「柏拉圖 vs. 孔子」、「歐幾里得 vs. 劉徽」及「伽羅瓦的悲劇一生」等等;

●電影及其它視覺工具,譬如英國開放大學 (Open University) 所發行的數學史教學影片等等;

●戶外數學古蹟的教學活動;

●WWW網路的使用。

以上這些 know-how 的例證無法在此細說,不過,我們在《HPM通訊》(創刊自1998年10月)所陸續發表的相關文章,做了比較詳盡的介紹或演示(DEMO)。我們也希望發展更多的例證,來豐富或增添上述 know-how的內容。

當然,根據HPM同行的觀察,如果數學教師擁有第一手的貼近古代數學文本的經驗,那麼,他們在課堂上融入數學史就會顯得更得心應手才是。畢竟教師若可從容地進入古代歷史情境,探索文本的意義,那麼,他們就相當於以學習者的身份,從新走過課堂教學內容的古代版本。由於他們必須試著揣摩古代學生(含數學家)的心路歷程,因此,教師的數學經驗將會更加豐富,從而可以布置的教學活動也必將更加多元了。

參考書目:
Moreno A., L.E. and Waldegg, G.. (1991). “The Conceptual Evolution of Actual Mathematical Infinity”, Educational Studies in Mathematics 22: 211-231.
Piaget, J. and Garcia, R. (1989). Psychogenesis and the History of Science. New York:Columbia University Press.
比爾‧柏林霍夫 / 弗南度‧辜維亞 (2008).《溫柔數學史》,台北:博雅書屋。
洪萬生 (1991).〈清初西方代數之輸入〉,收入洪萬生著,《孔子與數學》,台北:明文書局。
洪萬生 (2006).〈數學史與代數學習〉,收入洪萬生,《此零非比0》(台北:台灣商務印書館),頁171-183。
楊淑芬 (1992).《從皮亞傑的認識論談數學史與數學教育的關聯》,台灣師大數學所碩士論文。

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