數學史與數學教學之關連

數學史與數學教學之關連（History and Pedagogy of Mathematics, HPM）
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

HPM（International Study Group on the Relations between History and Pedagogy）是國際數學教育委員會（ICMI）的一個研究群，現在，我們也將它借用為數學（教育）的一個知識活動。因此，HPM既代表一個組織，也同時簡稱數學史融入數學教學的一種主張或方法。

HPM研究群的組成動機完全出自對於數學的教與學之強烈關懷，因此，它的主要目的在於將數學「教好」或「學好」，而不是讓教師或學生去直接去教或學「數學史」，除非課堂中的「數學史」活動，可以切實地提升數學教育的成效。當然，如果因此導致教師或學生對「數學史」如醉如痴，那麼，她（他）們最終一定可以體會「數學史」乃是數學有機體不可分割的一部份，從而為數學的教與學賦予更深刻的意義。

這麼說來，我們又將如何為HPM賦予正當性呢？事實上，HPM的推動者從生物學的「重演說」（recapitulation）找到一種比喻（metaphor），這個學說認為「個體成長重演種系歷史，但過程濃縮！」（這一多半仿自皮亞傑的主張當然有其侷限，因此，視之為比喻即可）。正因為兒童心智成長與數學概念的歷史發展，「似乎」存在了平行關係（parallelism），所以，一旦教師擁有了數學史的素養，那麼，在他（她）的數學教學中，尤其是面對學生的學習困擾時，應該可以發揮更大的包容。

在數學史家這一邊，兒童學習數學的個別經驗，往往提供了極珍貴的角度，幫助他們觀照數學知識成長的曲折與艱辛！皮亞傑（Jean Piaget）認為兒童認知之個案，幫助吾人有了最好的機會研究邏輯、數學和物理知識等等發展。因為，他相信「知識在邏輯、理性的組織上所取得的進展，與其對應的心理發展過程，具有一種平行性」。

另一方面，皮亞傑的「兒童」也給了科學史家極深刻的啟發。科學史家孔恩（T. Kuhm）應邀為一群兒童心理學家演講因果概念發展時，坦承他所以懂得向過去科學家發問恰當的歷史問題，全是拜皮亞傑對兒童的研究所賜。此外，他還追憶他與科學大師A. Koyre初次會面的一段難忘對話：「我興緻勃勃地對他（Koyre）說，正是皮亞傑的兒童教我如何了解亞里斯多德的物理學。他竟然回答，是亞里斯多德物理學教導他去了解皮亞傑的兒童。」無論如何，他的回答總是確證了我所喜愛的皮亞傑所歸納的看法，那就是：個體知識的心理起源 (psychogenesis) 與科學史之間，的確存在了有意義的關聯。

底下，我們打算以三則教學或學習插曲，來說明數學史可以為數學教師在學生認知面向所帶來的啟發。第一則有關集合論教學，至於第二、三則則是關於符號代數之學習。

數學教育家L. E. Moreno A., G. Waldegg曾以皮亞傑理論為依據，發現墨西哥大學數學系大一、二學生對「無限」的了解僅止於布爾札諾（B. Bolzano）的階段，亦即他們只能知道一個集合是無限的，而無法像康托爾（G. Cantor）一樣，比較兩個無限集合的大小！從集合論的歷史來看，從布爾札諾到康托爾當然是一個關鍵，因為人類有史以來首次可以用實無限（actual infinity）來思考，成功地區別無限的等級，正是康托爾的不朽貢獻！

李忠哲老師曾提供某國一學生的生活札記一則，茲轉述如下：「我每天都幾乎有一節數學，我每天都在看黑板，老師寫的，自己慢慢的看，算法怎麼算，所以每天幾乎都可以理解了幾題。假如我有一個題目不懂，就去問○○○（某同學，姑隱其名）怎麼做？他做一遍給我看，我再把我寫的這一題寫的想法，告訴○○○，他糾正我的寫法，我也慢慢的懂了。我對數學有困難的是，不能容忍x, y, z是個數字，並算出一個答案，這是自己面臨到的一個困難，無法突破。」這是第一次段考後，該生檢討自己的數學學習時所寫下的心聲，這次段考範圍應該包括一元一次方程式這個單元。乍看之下，我們或許覺得該生是一位學習能力遲鈍的少年。不錯，他的表達能力確實有待加強（原文有多個錯別字，已經過改正），但是他能夠精確地敘述他自己對代數符號的困擾，則是極為難能可貴！

1699年康熙皇帝讀書像(圖片來源：維基百科)

事實上，無法恰當了解代數符號意義的名人，在中外數學史上可多著呢！或許，康熙皇帝最難明白「新代數」，就是一個典型的例子。康熙皇帝曾向法國耶穌會士傅聖澤（J-F. Foucquet, 1665-1741）學習西方新代數，亦即符號代數。他在閱讀了傅聖澤所編寫的《阿爾熱巴拉新法》之後，發表了相當不以為然的評論：「論王道化：朕自起身以來，每日同阿哥等察阿爾熱巴拉新法，最難明白，他說比舊法易，看來比舊法愈難，錯處亦甚多，鶻突處也不少。前者朕偶爾傳於北京西洋人開數表之根，寫的極明白，爾將此論抄出，並此書發到京裡去，著西洋人共同細察，將不通的文章一概刪去。還有言者：甲乘甲、乙乘乙，總無數目，即乘出來亦不知多少，看起來想是此人算法平平爾。」由於康熙皇帝無法完全領悟符號運算的意義，因此，他抗拒了新代數的傳入，導致清代中國人到了1850年代李善蘭翻譯《代數學》（Elements of Algebra，作者是De Morgan），才有機會接觸符號代數。

誠然，無論是國一學生的「不能容忍x, y, z是個數字，並算出一個答案」，或者是康熙的「甲乘甲、乙乘乙，總無數目，即乘出來亦不知多少」，顯然都指出一個共同的認識論困境，那就是：代表未知數的符號究竟如何認識？然後，學習者才能心無罣礙地操作符號運算！如何恰當地認識代表未知數的符號，被數學教育家認為是介於算術代數之間的一種認知鴻溝 (cognitive gap) 。從數學史實來看，我們國一學生的學習困擾不乏先例。不管我們是否能夠更有效地幫助學生克服這一類的困擾，歷史的考察總是可以提醒我們：相對於古代數學家，我們今日的學生並沒有那麼遲鈍啊！

總之，無論是集合論的教學案例也好，或者是符號代數學的教學也好，數學史提供給我們的案例或「教訓」（moral）似乎都指出：除了極少數例外，人類認知似乎總有一定的階段，而且，從此一階段到下一階段，也總是需要比較從容的過渡或醞釀。因此，數學史的素養儘管無法保證教學評量的具體成效（如制式的考試成績），然而，有了數學史的素養，數學教師面對一般學生時，在心態上應該可以比較從容與包容才是。

最後，讓我們介紹數學史「融入」數學教室的一些 know-how，供有心採用的教師 參考：

●歷史「花絮」（snippets），譬如數學家的遺聞軼事、數學問題的起源以及古今 方法的簡單對比等等；

●學生以歷史文獻為本的研究專案（project work），譬如下列專題「一次方程 式：歷史的回顧」、「任意角三等分」、「何謂代數學？」、「函數的歷史演化」、「何謂非歐幾何？」以及「歐幾里得 vs. 劉徽」等等，都可以讓學生組成小組，寫出專案研究報告；

●數學史的原始文獻（primary sources），譬如《幾何原本》與《九章算術》的研讀與討論等等；

●工作單或學習單（worksheets），其設計通常圍繞著簡短的歷史選粹（historical extracts），伴隨著歷史背景的說明，再輔以了解數學知識內容的問題、所涉數學議題的討論、今昔解法或處理的比較，以及這些選粹中的題解（solving problems）或它們所引發的類似題解；

●可立即供2-3堂課使用的「歷史套裝」（historical packages），譬如「古代數碼與數系」、「古埃及算術」、「圓面積與圓周長」、「巴比倫的二次方程解法」以及「九章算術的分數計算」等等；

●恰當地使用歷史上出現的謬誤（errors）、另類概念（alternative conceptions）、觀點的改變（change of perspective）、隱含假設的修訂（revision of implicit assumptions）以及直觀論證（intuitive arguments）等等；

●歷史上的問題，譬如古希臘三大作圖題，Goldbach 猜測，不同文明所提供的畢氏定理證明，以及引出解析數論的質數定理等等；

●歷史上曾經出現的畫圖工具（mechanical instruments）；

●回到過去的數學實驗活動，譬如使用古代的記號、方法及論證，來學習數學；

●編劇本，譬如「柏拉圖 vs. 孔子」、「歐幾里得 vs. 劉徽」及「伽羅瓦的悲劇一生」等等；

●電影及其它視覺工具，譬如英國開放大學 (Open University) 所發行的數學史教學影片等等；

●戶外數學古蹟的教學活動；

●WWW網路的使用。

以上這些 know-how 的例證無法在此細說，不過，我們在《HPM通訊》（創刊自1998年10月）所陸續發表的相關文章，做了比較詳盡的介紹或演示（DEMO）。我們也希望發展更多的例證，來豐富或增添上述 know-how的內容。

當然，根據HPM同行的觀察，如果數學教師擁有第一手的貼近古代數學文本的經驗，那麼，他們在課堂上融入數學史就會顯得更得心應手才是。畢竟教師若可從容地進入古代歷史情境，探索文本的意義，那麼，他們就相當於以學習者的身份，從新走過課堂教學內容的古代版本。由於他們必須試著揣摩古代學生（含數學家）的心路歷程，因此，教師的數學經驗將會更加豐富，從而可以布置的教學活動也必將更加多元了。

參考書目:
Moreno A., L.E. and Waldegg, G.. (1991). “The Conceptual Evolution of Actual Mathematical Infinity”, Educational Studies in Mathematics 22: 211-231.
Piaget, J. and Garcia, R. (1989). Psychogenesis and the History of Science. New York：Columbia University Press.
比爾‧柏林霍夫 / 弗南度‧辜維亞 (2008).《溫柔數學史》，台北：博雅書屋。
洪萬生 (1991).〈清初西方代數之輸入〉，收入洪萬生著，《孔子與數學》，台北：明文書局。
洪萬生 (2006).〈數學史與代數學習〉，收入洪萬生，《此零非比０》（台北：台灣商務印書館），頁171-183。
楊淑芬 (1992).《從皮亞傑的認識論談數學史與數學教育的關聯》，台灣師大數學所碩士論文。