虎克定律 Hooke’s law

虎克定律 Hooke’s law
中央大學物理所余韋德

在介紹虎克定律(Hooke’s law)之前，先來回想一下當初學習牛頓第二定律時，我們知道當一個物體所受的外力和不為零時，該物體會產生加速度的運動，但物體受力除了會產生加速度造成運動狀態改變之外，另外該物體亦可能會產生外型的改變，故力的效應可以造成物體運動狀態改變和形變，若對形變現象有興趣想深入了解，那虎克定律可作為進入研究形變的第一個功課。

基本上虎克定律是在描述：當固體材料受力之後，材料中的應力與變形量(應變)之間成線性關係。也就是一個固體的受力和它的變形量(應變)是成正比的意思。而彈簧即是日常生活中常見且符合虎克定律的範例，故將以彈簧來為大家進行虎克定律的介紹。當你施力去拉長或是壓縮一條彈簧時，該彈簧便會伸長或是變短，產生簡單的一維形變。在這條彈簧的彈性限度內，你施力的大小將會影響到這條彈簧的形變程度，虎克定律應用在彈簧上即描述彈力與彈簧變形量的關係。

下圖一共有a、b和c三個小圖，在都沒超過彈簧的彈性限度之下，圖一a代表的是一條原長為 $$L_0$$ 的彈簧，當我們施力 $$F_1$$ 於彈簧上達平衡時則如圖一b所示總長度為 $$2L_0$$，若改為施力 $$F_2$$ 達平衡時彈簧變成如圖一c所示總長度為 $$3L_0$$，這時可以問一個問題，$$F_1$$ 和 $$F_2$$ 的大小比例為何?

圖一 (陳義裕繪)

有些朋友可能會很快地回答 $$F_1:F_2=2:3$$，又有另一群人可能會回答 $$F_1:F_2=1:2$$，如果你注意到的只是彈簧的總長度那可能就會說出 $$2:3$$ 這個答案，若你注意到的是彈簧長度的變化量，那應該就會回答 $$1:2$$ 這答案，正確的答案是後者 $$1:2$$。上個段落曾經提及虎克定律應用在彈簧上即描述彈力與彈簧變形量的關係，所以重點在於變形量，也就是伸長量。在圖一的b和c彈簧的彈力和彈簧的伸長量成線性關係，即：

$$F=-k(L-L_0)$$ 或是 $$F=-kx$$

$$F$$：彈力
$$k$$：彈性係數，會因彈簧的材質與長短、粗細而異
$$L$$：彈簧總長度
$$L_0$$：彈簧原長
$$x$$：彈簧伸長量

公式中有個負號，這代表彈簧的彈力總是和其伸長量為相反方向，當你向外拉長彈簧時，彈力則是欲使彈簧往內縮，或是當你壓縮彈簧時，彈力則會是往外抵抗壓縮的，所以負號就是在描述這個情況。

所以我們可以畫出彈簧彈力與其對應伸長量的函數圖形如圖二，方程式的函數圖形為圖二d，其中的 $$x_{max}$$ 則是彈簧的最大伸長量或是壓縮量的量值。在圖二a中，若以向右的方向為正值的話，彈簧受力向右伸長時其產生的彈力則向左，反之如圖二c若壓縮時彈簧彈力則向右，而彈力的大小和伸長量就呈現一個線性的關係可清楚於圖二d中發現，而此線的斜率則因不同的彈簧而異，也就是因 $$k$$ 值的不同而異。

圖二 (陳義裕繪)

所以有了虎克定律(Hooke’s law)的概念之後，如我們所舉的範例彈簧，在彈性限度內，你自然可以清楚知道需要多少的力去將你的彈簧拉到你要的長度。而k的大小則讓你明白對於不同的彈簧想伸長同樣單位大小時所需的力都不同，當 $$k$$ 值越大則將越難拉長或是壓縮該彈簧。如圖三所示，圖中的a是最難拉長或壓縮的彈簧，反之c則是最容易拉長或壓縮的彈簧，而 $$k$$ 值的大小排列則是 $$a>b>c$$。

圖三 (作者提供)

必須注意的是：並不是所有的物體都滿足虎克定律。但許多物體在偏離平衡狀態一點點時(亦即其形變很小)，確實可以將回復力近似地視為滿足虎克定律，因此虎克定律有許多應用。