矩陣的運算（Operations of Matrices）

矩陣的運算（Operations of Matrices）
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師

摘要：本文介紹矩陣的加法、減法、係數積，以及如何操作矩陣的乘法。

矩陣的加法與減法

當兩個矩陣的列數相等，行數也相等時，我們就稱它們為「同階矩陣」。

例如 $$M = \left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3 \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} 4&5&6 \end{array} \end{array} \right]$$ 與 $$N = \left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {1{\rm{0}}}&{2{\rm{0}}}&{3{\rm{0}}} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {4{\rm{0}}}&{5{\rm{0}}}&{6{\rm{0}}} \end{array} \end{array} \right]$$ 同為 $$2\times 3$$ 階矩陣。

同階矩陣我們才能做加法與減法，方法很直觀，就是相同位置的元相加或相減，例如：

$$\begin{array}{ll}M + N &= \left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3 \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} 4&5&6 \end{array} \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {1{\rm{0}}}&{2{\rm{0}}}&{3{\rm{0}}} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {4{\rm{0}}}&{5{\rm{0}}}&{6{\rm{0}}} \end{array} \end{array} \right]{\rm{ = }}\left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{1 + }}1{\rm{0}}}&{{\rm{2 + }}2{\rm{0}}}&{{\rm{3 + }}3{\rm{0}}} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{4 + }}4{\rm{0}}}&{{\rm{5 + }}5{\rm{0}}}&{{\rm{6 + }}6{\rm{0}}} \end{array} \end{array} \right]\\&= \left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {1{\rm{1}}}&{2{\rm{2}}}&{3{\rm{3}}} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {4{\rm{4}}}&{5{\rm{5}}}&{6{\rm{6}}} \end{array} \end{array} \right]\end{array}$$

$$\begin{array}{ll}M – N &= \left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3 \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} 4&5&6 \end{array} \end{array} \right] – \left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {1{\rm{0}}}&{2{\rm{0}}}&{3{\rm{0}}} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {4{\rm{0}}}&{5{\rm{0}}}&{6{\rm{0}}} \end{array} \end{array} \right]{\rm{ = }}\left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{1}} – 1{\rm{0}}}&{{\rm{2}} – 2{\rm{0}}}&{{\rm{3}} – 3{\rm{0}}} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{4}} – 4{\rm{0}}}&{{\rm{5}} – 5{\rm{0}}}&{{\rm{6}} – 6{\rm{0}}} \end{array} \end{array} \right] \\&=\left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {\; – \;{\rm{9}}}&{ – {\rm{18}}}&{ – {\rm{27}}} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} { – {\rm{36}}}&{ – {\rm{4}}5}&{ – {\rm{54}}} \end{array} \end{array} \right]\end{array}$$

用符號來表示就是 $$A = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{m \times n}}$$，$$B = {\left[ {{b_{ij}}} \right]_{m \times n}}$$，

則 $$A+B = {\left[ a_{ij}+b_{ij} \right]_{m \times n}}$$，$$A-B = {\left[ a_{ij}-b_{ij} \right]_{m \times n}}$$。

接下來，我們也可以直觀地理解，矩陣的加法和數的加法一樣，都會符合交換律與結合律：

交換律：$$A+B=B+A$$
結合律：$$A+(B+C)=(A+B)+C$$

最後，在矩陣加、減法的運算中，讀者應該能想像得到，會有一種矩陣，它的效果就像是數字 $$0$$ 一樣，加 $$0$$ 或減 $$0$$ 都不會改變。要達成這種效果，那矩陣中的每個元就都非得是 $$0$$ 不可了！每個元都是 $$0$$ 的矩陣，我們就稱為「零矩陣」，記為 $$O_{m\times n}$$。

矩陣的係數積

從矩陣的加法中可以知道，當 $$A+A = {\left[ a_{ij} \right]_{m \times n}}+{\left[ a_{ij} \right]_{m \times n}}={2\cdot\left[ a_{ij} \right]_{m \times n}}$$，而很自然地 $$A+A$$ 可記成 $$2A$$，因此，我們就得到 $$2A={2\cdot\left[ a_{ij} \right]_{m \times n}}$$，也就是說，在矩陣外面乘以 $$2$$ 倍，就相於於將裡面每一個元變成 $$2$$ 倍！將這個結論推廣，我們就得到矩陣的「係數積」：

$$r$$ 是個數，$$A = {\left[ {{a_{i j}}} \right]_{m \times n}}$$，則 $$rA = {\left[ {r\cdot{a_{i j}}} \right]_{m \times n}}$$

特別地， 當 $$r=0$$ 時，$$rA$$ 就會變成零矩陣了。

矩陣的乘法

矩陣的加法、減法與係數積，基本上和我們習慣的多項式的運算是一致的，很容易被接受。不過，接下來的矩陣乘法可就大不相同了，讓我們先用例子來說明。左下表是某家工廠每一季銷售甲、乙、丙三型產品的數量，右下表則是每一型產品所需的零件數，比如說，甲型產品在第一季的銷售量是 $$10$$ 個，而每製造 $$1$$ 個甲型產品需要 $$A$$、$$B$$、$$C$$、$$D$$ 零件各 $$3$$、$$2$$、$$1$$、$$0$$ 個。

如果我們現在想要知道第一季銷售出去的產品總共用了多少個 $$A$$ 零件，那根據上表，我們可以算出總共是 $$3\times 10+1\times 50+0\times 20=80$$，仿此，我們可以算出每一季每一種零件的使用總數，並寫成下表：

現在，透過矩陣，我們可以將上述三個表格寫成：

$$\left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} 3&1&0 \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} 2&1&1 \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} 1&{\,1}&2 \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} 0&1&3 \end{array} \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {10}&{\,12}&{13}&{12} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {50}&{40}&{30}&{20} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {20}&{30}&{40}&{50} \end{array} \end{array} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {80}&{76}&{69}&{56}\\ {90}&{94}&{96}&{94}\\ {100}&{112}&{123}&{132}\\ {110}&{130}&{150}&{170} \end{array}} \right]\cdots\cdots (*)$$

這就展現了矩陣的乘法。也就是說，當兩個矩陣相乘，我們要將前一個矩陣第一列的元與後一個矩陣第一行的元，依順序相乘後相加，所得就是新矩陣第一列第一行的元，也就是 $$3\times 10+1\times 50+0\times 20=80$$。同理，將前一個矩陣第三列的元與後一個矩陣第二行的元，依順序相乘後相加，所得就是新矩陣第三列第二行的元，即 $$1\times 12+1\times 40+2\times 30=112$$。

用矩陣乘法來表示的好處除了很清楚地看出結果外（過程的許多計算毋需呈現出來），就是可以將上述的矩陣乘法$$(*)$$寫成電腦程式，那往後只要將每一季的銷售數字輸入，一下子就可以得到整年度每種零件的使用總數了。就算產品的製程更改以致於使用的零件數不同，那我們也只需改變$$(*)$$中第二個矩陣的元，一樣很快地就可以得到整年度的數字了。接下來，如果還有其他的資料，例如每個產品的銷售金額或每個零件的成本，那我們也可以利用矩陣的乘法，很快地得出該年度的銷售總額、總成本以及年度獲利。

現在，讓我們用符號將矩陣的乘法表示出來，先提醒讀者，符號看起來會有點複雜，一旦發現自己被符號困惑時，別忘了看看上述的實例。

若三個矩陣

,,,

滿足 $$A\cdot B=C$$，則 $${a_{i1}}{b_{1j}} + {a_{i2}}{b_{2j}} +\cdots+ {a_{in}}{b_{nj}} = {c_{ij}}$$

例如： 。

最後，矩陣的乘法還有一些特殊限制，讀者不妨先想想下述幾個問題，至於答案，留待下一篇〈矩陣乘法的限制及性質〉：

1. 我們知道同階矩陣才可以相加、相減，那同階矩陣可以相乘嗎？
2. 在數或是多項式的乘法中，我們知道乘法是有交換律的，也就是 $$2\times 3=3\times 2$$，$$(x^2+1)(x-1)=(x-1)(x^2+1)$$，那矩陣的乘法是否也有交換律？
3. 矩陣有除法嗎？
4. 任一個非 $$0$$ 的數，其倒數 $$\frac{1}{a}$$ 存在且滿足 $$a\cdot \frac{1}{a}=1$$，我們可以稱 $$1$$ 是乘法的單位元素，稱 $$a$$ 與 $$\frac{1}{a}$$ 互為乘法反元素。矩陣也有類似的結果嗎？