行列式的濫觴：萊布尼茲 (1)（The Beginnings of Determinants: Leibniz (1)）

行列式的濫觴：萊布尼茲 (1)（The Beginnings of Determinants: Leibniz (1)）
國立臺南第一高級中學林倉億老師

在本網站的文章中，中央大學單維彰老師的〈行列式的故事〉已簡略地介紹行列式發展歷史的大略，接下來這系列的文章，就是為它補上一些細節。首先登場的，就是萊布尼茲 (Gottfried Wilhelm von Leibniz, 1646-1716)。

1693年4月28日萊布尼茲寫給羅必達 (Guillaume François Antoine Marquis de L’Hôpital, 1661-1704)的信中，開門見山地寫道：

我一定沒有解釋得很清楚，所以你才會說你難以相信可以使用數字取代字母，像字母一般且便利的使用。如果允許將2、3等當作a或b來使用，而不是當作真的數字，那它的一般性就是無庸置疑的。以此方式，就不是6，而是ab。至於便利性，正是因為便利，所以我本身經常使用它們，特別是易於犯錯的冗長且困難的計算中。因為除了具備用數字來檢驗的便利性外，甚至是用「去9法」（註一）來檢驗，我還發現使用上有一個很大的好處，就是分析。雖然這是十分巨大的發現，但我還沒有告訴任何人，以下就是這個發現。

從這封信中可看出用文字符號來的使用在當時已經是十分自然的事了，現在萊布尼茲要反其道而行，用數字來代替文字，所以，羅必達在上封信中表達了自己的疑惑。由此，也可以看出，住在法國的羅必達透過信件往返，與身在日耳曼的萊布尼茲在數學上進行跨國交流。再者，羅必達對萊布尼茲來說，必定是相當在意的人，不然，萊布尼茲怎會透露自己的巨大發現，還強調從沒告訴過任何人。無論是搞神祕還是故意吹噓，都達到引人一探究竟的效果。

萊布尼茲在信中用下列左邊這個例子來說明數字符號取代文字符號的好處：

\(\begin{array}{l} 10 + 11x + 12y = 0 \cdots \cdots (1)\\ 20 + 21x + 22y = 0 \cdots \cdots (2)\\ 30 + 31x + 32y = 0 \cdots \cdots (3) \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} {a_{10}} + {a_{11}}x + {a_{12}}y = 0\cdots \cdots (1)\\ {a_{20}} + {a_{21}}x + {a_{22}}y = 0 \cdots \cdots (2)\\ {a_{30}} + {a_{31}}x + {a_{32}}y = 0\cdots \cdots (3) \end{array}\)

這三個二元一次方程式的係數，並非表面上所看到的數字，以現在的術語來說，等價於上方右邊的三個方程式。也就是說，萊布尼茲用二位數的第一個數字來表示屬於第幾個方程式，第二個數字則代表屬於常數或是第幾個未知數，首創了用兩個足碼的表示方式（或符號）。為了讓讀者易於了解萊布尼茲的作法，下文中，若有需要，筆者將萊布尼茲的寫法列於左側，右側則是今日的符號。萊布尼茲告訴羅必達說：

當一個人需要用到很多字母時，這些字母完全不能將它們所代表的量的關係表達出來，這難道不是真的嗎？可是，藉由數字，我可以表達這種關係。

萊布尼茲先利用第 \((1)\) 式與第 \((2)\) 式消去 \(y\)，得到第 \((4)\) 式：

\(\begin{array}{c}\begin{array}{r} 10 \cdot 22 + 11 \cdot 22x\\ – 12 \cdot 20 – 12 \cdot 21x \end{array} = 0\cdots (4) \\\Leftrightarrow \left( {{a_{10}}{a_{22}} – {a_{12}}{a_{20}}} \right) + \left( {{a_{11}}{a_{22}} – {a_{12}}{a_{21}}} \right)x = 0 \cdots (4)\end{array}\)

同樣地，利用第 \((1)\) 式與第 \((3)\) 式消去 \(y\)，得到第 \((5)\) 式：

\(\begin{array}{c}\begin{array}{r} 10 \cdot 32 + 11 \cdot 32x\\ – 12 \cdot 30 – 12 \cdot 31x \end{array} = 0\cdots (5) \\\Leftrightarrow \left( {{a_{10}}{a_{32}} – {a_{12}}{a_{30}}} \right) + \left( {{a_{11}}{a_{32}} – {a_{12}}{a_{31}}} \right)x = 0 \cdots (5)\end{array}\)

萊布尼茲提醒羅必達，只要將第 \((4)\) 式中，數字前面中的 \(2\) 改成 \(3\)，就得到了第 \((5)\) 式，也就是 \(22\rightarrow 32\)、\(20\rightarrow 30\)、\(21\rightarrow 31\)，由此就可以看出萊布尼茲所說的利用數字來代替字母\(a\)、\(b\)、\(c\cdots\) 的好處。接著，萊布尼茲再利用第 \((4)\)、\((5)\) 式消去 \(x\) 後，就得到下式，在此，萊布尼茲略為改變了他的符號

\(\begin{array}{l} 1_0 \cdot 2_1 \cdot 3_2\\ 1_1 \cdot 2_2 \cdot 3_0\\ 12 \cdot 2_0 \cdot 3_1 \end{array}=\begin{array}{l} 1_0 \cdot 2_2 \cdot 3_1\\ 1_1 \cdot 2_0 \cdot 3_2\\ 12 \cdot 2_1 \cdot 3_0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l}{a_{10}}{a_{21}}{a_{32}} + {a_{11}}{a_{22}}{a_{30}} + {a_{12}}{a_{20}}{a_{31}}\\ = {a_{10}}{a_{22}}{a_{31}} + {a_{11}}{a_{20}}{a_{32}} + {a_{12}}{a_{21}}{a_{30}} \end{array}\)

萊布尼茲藉由數字符號的操作，證明了三個二元一次方程式要有共同解的條件，就是要係數符合上述的關係式，也就是今日行列式 \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{10}}}&{{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{20}}}&{{a_{21}}}&{{a_{22}}}\\ {{a_{30}}}&{{a_{31}}}&{{a_{32}}} \end{array}} \right| = 0\) 展開後的結果。

萊布尼茲強調：如果用字母 \(a,b,c\cdots\)，那將很難看出上述的規則，特別是當字母數很多的時候；而且，上述的規則並不是來自使用符號的技術，而是符號本身的特性。最後，萊布尼茲還向羅必達炫耀，他可以將上述的結果推廣成一般性的定理，只要方程式的數目比未知數多 \(1\) 就好，而這是連韋達 (François Viète, 1540-1603)、笛卡爾 (René Descartes, 1596-1650)都不知道的祕密！

註一：「去9法」就是利用除以9的餘數是否相同來檢查計算是否有錯。例如12345+67890=80235，左式中2個數除以9的餘數分別為6、3，相加後除以9的餘數是0；右式中的數字除以9的餘數也是0，故計算可能是對的！說明白一點，「去9法」只能發現某些計算結果是錯誤的，比如說將80235算成80236，但若是將80235寫成80253，那「去9法」是檢查不出來的！

連結：行列式的濫觴：萊布尼茲 (2)（The Beginnings of Determinants: Leibniz (2)）

參考文獻：

• Smith, David Eugene (1956). A Source Book in Mathematics, New York: Dover Publications
• 楊浩菊 (2004). 《行列式理論歷史研究》，西北大學博士論文。