圓錐曲線的定義作圖
臺北市立西松高中蘇惠玉老師
圓錐曲線的定義
拋物線、橢圓、雙曲線等圓錐截痕有各種不同的定義方式,目前高中教材中選擇的是與焦點與固定長有關的定義方式,分別定義如下:
拋物線:
給定一直線 $$L$$ 及線外一點 $$F$$,若平面上的動點 $$P$$ 滿足到 $$F$$ 點的距離等於到直線 $$L$$ 的距離,即 $$\overline{PF}=d(P,L)$$,則所有動點 $$P$$ 所形成的圖形為拋物線。
橢圓:
給定兩點 $$F_1$$ 與 $$F_2$$,以及一固定值 $$2a$$,其中 $$2a>\overline{F_1F_2}$$,若平面上的動點 $$P$$ 滿足到 $$F_1$$、$$F_2$$ 的距離和等於此固定值,即 $$\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=2a$$,則所有動點 $$P$$ 所形成的圖形為橢圓。
雙曲線:
給定兩點 $$F_1$$ 與 $$F_2$$,以及一固定值 $$2a$$,其中 $$2a<\overline{F_1F_2}$$,若平面上的動點 $$P$$ 滿足到 $$F_1$$、$$F_2$$ 的距離差等於此固定值,即 $$|\overline{PF_1}-\overline{PF_2}|=2a$$,則所有動點 $$P$$ 所形成的圖形為雙曲線。
從這樣的定義方式並沒有辦法看出圖形的樣子,在還沒導出標準式之前,也無法藉由描點的方式畫圖。因此,要能夠「接受」這樣的定義方式確實可以畫出所定義的圖形,就必須經由作圖工具的輔助才行。