圓錐曲線的定義作圖

圓錐曲線的定義作圖
臺北市立西松高中蘇惠玉老師

圓錐曲線的定義

拋物線、橢圓、雙曲線等圓錐截痕有各種不同的定義方式，目前高中教材中選擇的是與焦點與固定長有關的定義方式，分別定義如下：

拋物線：

給定一直線 $$L$$ 及線外一點 $$F$$，若平面上的動點 $$P$$ 滿足到 $$F$$ 點的距離等於到直線 $$L$$ 的距離，即 $$\overline{PF}=d(P,L)$$，則所有動點 $$P$$ 所形成的圖形為拋物線。

橢圓：

給定兩點 $$F_1$$ 與 $$F_2$$，以及一固定值 $$2a$$，其中 $$2a>\overline{F_1F_2}$$，若平面上的動點 $$P$$ 滿足到 $$F_1$$、$$F_2$$ 的距離和等於此固定值，即 $$\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=2a$$，則所有動點 $$P$$ 所形成的圖形為橢圓。

雙曲線：

給定兩點 $$F_1$$ 與 $$F_2$$，以及一固定值 $$2a$$，其中 $$2a<\overline{F_1F_2}$$，若平面上的動點 $$P$$ 滿足到 $$F_1$$、$$F_2$$ 的距離差等於此固定值，即 $$|\overline{PF_1}-\overline{PF_2}|=2a$$，則所有動點 $$P$$ 所形成的圖形為雙曲線。

從這樣的定義方式並沒有辦法看出圖形的樣子，在還沒導出標準式之前，也無法藉由描點的方式畫圖。因此，要能夠「接受」這樣的定義方式確實可以畫出所定義的圖形，就必須經由作圖工具的輔助才行。

GGB繪圖

作圖工具之一即是利用電腦軟體模擬，而 GeoGebra（簡稱GGB）是目前較為主流的數學繪圖軟體。GGB 的繪圖基本原理為尺規作圖，再加上一些幾何變換。不過因為可以模擬動態軌跡，因此在作軌跡問題的圖形時，不失為一方便有效的教學應用軟體。在作圖時，只要在工具列中選擇適當的工具，如點、線段、直線或圓，作垂直線、平行線、中垂線等等，或者是伸縮、平移、對稱、旋轉等變換，即可輕鬆作出圖形。以下即為利用 GGB 的圓錐曲線定義作圖：

拋物線：

畫一直線 $$L$$，及線外一點 $$F$$，在 $$L$$ 上任取一點 $$Q$$，連 $$\overline{QF}$$；過 $$Q$$ 作 $$L$$ 的垂線 $$M$$，以及 $$\overline{QF}$$ 的中垂線 $$N$$，$$M$$ 與 $$N$$ 交於一點 $$P$$，讓 $$Q$$ 沿著直線 $$L$$ 移動，$$P$$ 點的軌跡即為所求的拋物線（先在 $$P$$ 點按右鍵，選擇「顯示移動軌跡」，然後在 $$Q$$ 點按右鍵，選擇「開始動畫」）。

因為 $$P$$ 點在的中垂線 $$N$$ 上，所以 $$\overline{PF}=\overline{PQ}$$，又 $$\overline{PQ}$$ 即為 $$P$$ 到直線 $$L$$ 的距離，所以 $$P$$ 點滿足 $$\overline{PF}=d(P,L)$$ 的定義，其軌跡為拋物線。

在上述過程中，中垂線 $$N$$ 即為過拋物線上一點 $$P$$ 的切線，而 $$L$$ 的垂線 $$M$$ 即為與對稱軸平行的直線，因此在這個作法中，亦可藉由此說明拋物線的光學性質：

拋物線上任一點 $$P$$，
$$\overline{PF}$$ 及過 $$P$$ 平行於軸的軸的射線，與過 $$P$$ 的切線 $$N$$ 所夾的角度相等（如上圖，$$\alpha=\beta$$）。

橢圓：

作兩點 $$F_1$$ 與 $$F_2$$，及 $$\overline{AB}$$ 等於給定值 $$2a$$，讓 $$\overline{AB}>\overline{F_1F_2}$$，以 $$F_1$$ 為圓心，$$\overline{AB}$$ 為半徑作圓；在圓上任取一點 $$Q$$，連 $$\overleftrightarrow{F_1Q}$$與 $$\overline{QF_2}$$，作 $$\overline{QF_2}$$ 的中垂線 $$L$$，與 $$\overleftrightarrow{F_1Q}$$ 交於一點 $$P$$，讓 $$Q$$ 點沿著圓移動，$$P$$ 點的軌跡即為橢圓（先在 $$P$$ 點按右鍵，選擇「顯示移動軌跡」，然後在 $$Q$$ 點按右鍵，選擇「開始動畫」）。

因為 $$P$$ 為 $$\overline{QF_2}$$ 中垂線 $$L$$ 上一點，所以 $$\overline{PF_2}=\overline{PQ}$$，故

$$\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=\overline{PF_1}+\overline{PQ}=2a$$ （半徑）

因此 $$P$$ 點滿足 $$\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=2a$$，其軌跡為橢圓。

在上述過程中，中垂線 $$L$$ 即為過橢圓上一點 $$P$$ 的切線，因此在這個作法中，亦可藉由此說明橢圓的光學性質：

橢圓上任一點 $$P$$ 的兩條焦半徑 $$\overline{PF_1}$$ 與 $$\overline{PF_2}$$，與過 $$P$$ 的切線 $$L$$ 所夾的角度相等（如上圖，$$\alpha=\beta$$）。

雙曲線：

作兩點 $$F_1$$ 與 $$F_2$$，及 $$\overline{AB}$$ 等於給定值 $$2a$$，讓 $$\overline{AB}<\overline{F_1F_2}$$，以 $$F_1$$ 為圓心，$$\overline{AB}$$ 為半徑作圓；在圓上任取一點 $$Q$$，連 $$\overleftrightarrow{F_1Q}$$ 與 $$\overline{QF_2}$$，作 $$\overline{QF_2}$$ 的中垂線 $$L$$，與交於一點 $$P$$，讓 $$Q$$ 點沿著圓移動，$$P$$ 點的軌跡即為雙曲線（先在 $$P$$ 點按右鍵，選擇「顯示移動軌跡」，然後在 $$Q$$ 點按右鍵，選擇「開始動畫」）。

因為 $$P$$ 為中垂線 $$L$$ 上一點，所以 $$\overline{PF_2}=\overline{PQ}$$，故

$$|\overline{PF_1}-\overline{PF_2}|=|\overline{PF_1}-\overline{PQ}|=2a$$ （半徑）

因此 $$P$$ 點滿足 $$|\overline{PF_1}-\overline{PF_2}|=2a$$，其軌跡為雙曲線。

在上述過程中，中垂線 $$L$$ 即為過雙曲線上一點 $$P$$ 的切線，因此在這個作法中，亦可藉由此說明雙曲線的光學性質：

雙曲線上任一點 $$P$$ 的兩條焦半徑 $$\overline{PF_1}$$ 與 $$\overline{PF_2}$$，與過 $$P$$ 的切線 $$L$$ 所夾的角度相等（如上圖，$$\alpha=\beta$$）。