圓錐曲線中正焦弦的地位（The status of latus rectumin conics）

圓錐曲線中正焦弦的地位（The status of latus rectumin conics）
台北市立西松高級中學數學科蘇惠玉老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

如果數學教師想要將圓錐截痕與高中教材中的定義方式作一連結，可以利用阿波羅尼斯的《錐線論》(Conics) 中所提到的相關內容。阿波羅尼斯(Apollonius of Perga, 約262 B. C. ~ 190 B. C.) 在《錐線論》卷一的第11、12、13命題，引入何謂拋物線、雙曲線與橢圓。

簡單一點來說，他在平面與圓錐的截痕中，利用已知幾個線段的比例，找出一個線段長度，這個線段長即為「正焦弦」(latus rectum)。他再將截痕上任一點的縱座標所成的正方形，與正焦弦及橫座標所成的矩行面積作比較，每一種截痕的情況不同，從而定義與給出拋物線、雙曲線與橢圓的名稱。

在命題 $$11$$ 中，他說當平面與圓錐的一條母線平行地相截時（參考圖１），從截出的各個線段長中，我們可以得出一個與拋物線對稱軸（他稱為直徑）垂直的線段 $$HF$$，那麼這個截痕上的任一點 $$K$$ 就會滿足：正方形 $$KL=$$ 矩形 $$HF,FL$$。

若以直角座標系的角度來看，任一點 $$K$$ 的縱座標（$$y$$ 座標）為 $$KL$$，橫座標（$$x$$ 座標）為 $$LF$$，即可得方程式 $$y^2=px$$，此處 $$p=HF$$，即一般所稱的「參量」(parameter)或是「正焦弦」。他將這個截痕稱為 $$parabola$$，取其原意「剛好相等」來命名。

在命題 $$12$$ 中，他在此截痕中（參考圖２）先找出對稱軸垂直的一個線段長 $$FL$$，則此截痕上任一點 $$M$$ 的縱座標 $$MN$$ 所得到正方形面積等於矩形 $$FX$$ 的面積，這個矩形等於以 $$FL$$ 為高度，以 $$FN$$ 為寬度的矩形，再加上另一個矩形 $$OLPX$$。

同樣建立坐標系，以 $$F$$ 為原點，$$HF$$ 為 $$x$$ 軸，那麼 $$FX=x$$，$$MN=y$$，讓 $$FL=p$$，$$HF=d$$，因為 $$HF:FL=OL:LP$$，即 $$d:p=x:LP$$，所以 $$LP={\frac{p}{d}}x$$，按照這個截痕的結論，可以得到 $$y^2=px+{\frac{p}{d}}x^2$$，此處 $$p=FL$$ 即為正焦弦。他將此截痕命名為$$hyperbola$$，取其原意「超過、大於」來命名。

在命題 $$13$$ 截痕為橢圓的情況下（參考圖３），阿波羅尼斯同樣先找出與 $$ED$$ 垂直的一個線段長 $$EH$$，那麼這個截痕上任一點 $$L$$，滿足以 $$LM$$ 為邊的正方形面積等於矩形 $$MO$$ 的面積，而矩形 $$MO$$，比以 $$EM$$ 為寬度，$$EH$$ 為高度的矩形還少了一個矩形 $$ON$$。

若在直角座標系上討論，以 $$E$$ 當原點，$$ED$$ 當 $$x$$ 軸，那麼 $$EM=x$$，$$LM=y$$，讓 $$EH=p$$，$$ED=d$$，首先，$$ED:EH=OX:OH$$，也就是 $$d:p=x:OH$$，所以 $$OH={\frac{p}{d}}x$$，那麼根據結果，可以得到 $$y^2=px-{\frac{p}{d}}x\cdot{x}$$，也就是 $$y^2=px-{\frac{p}{d}}x^2$$。其中 $$p=EH$$，也就是正焦弦。他將這個截痕稱為 $$ellipse$$，取其原意為「縮小、小於」來命名。

阿波羅尼斯在卷一的命題 $$11$$ 寫到這個線段（參量），也叫做 $$\acute{o}\rho\theta\acute{i}\alpha$$（原文中的英譯為upright side，即豎直邊），拉丁文翻譯時譯作latus rectum，也成為一個英文名詞，即是「正焦弦」之意。

當一個平面跟圓錐相截時，在這個截痕的圖形中，它的「正焦弦」這一段長度即已經固定，阿波羅尼斯利用「比例$$(a:b::c:d)$$」，並以垂直於「直徑」的方式作出這一段線段。在古希臘人比例式中，「$$::$$」意指「類比 analogin」，史家M.Fried認為阿波羅尼斯所用的「類比」，不只是比例式的抽象操弄而已，更是「類比」於它所代表的幾何意義。他認為，圓錐截痕中的「直徑」與「正焦弦」合成一個圓錐截痕的「圖像」(figure)，經由這個圖像，可以「類比」出這個圓錐截痕的特性。

所以，阿波羅尼斯將正焦弦稱為“upright side”，即是意指這個矩形的一邊，再者阿波羅尼斯以這個矩形來表徵圓錐截痕，我們可以輕易的將這種方式，「翻譯」成為直角座標系中的方程式：$$y=px\pm{\frac{p}{2a}}x^2$$。

在上述的三個命題中，阿波羅尼斯藉由正焦弦，巧妙地將三個圓錐截痕以一貫的、相似的形式來表徵。如果吾人適當地將這三個命題的內容與意涵融入教材時，數學教師將可以回答：正焦弦在圓錐曲線中所具有的幾何意義，而它將不再只是考試會測驗的一段長度而已。再者，教科書中雖然都以焦點的方式定義拋物線、橢圓與雙曲線，但是，這三個名詞所帶有的幾何關連性，在定義方式與隨之而得的代數方程式中都無法凸顯。反之，如果訴諸阿波羅尼斯的這三個命題，我們就可以找到一個為完整的、幾何的形式來理解、進而欣賞圓錐曲線，這是目前教科書所建議採取的圓錐曲線教學所無法辦到的。

無論如何，適當地使用數學史在數學教學中，教師的專業可以獲得成長，學生的學習障礙也能有另一種形式的解決可能。

參考資料：

1. Apollonius (1952), Conics(tr. R. C. Taliaferro), in Great Books of the Western World, Encyclopaedia Britannica.
2. Fried, M. (2003), “The Use of Analogy in Book VII of Apollonius’Conica”,Science in Context 16(3).