圓錐曲線的教學動機與作圖器的製作（Motivation to teach conics and construction apparatus）

圓錐曲線的教學動機與作圖器的製作（Motivation to teach conics and construction apparatus）
台北市立西松高中數學科蘇惠玉老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

一、前言

一個數學教師在教學過程所碰到的問題，必須能夠靠自己的專業訓練尋求解答。他/她可以藉助於自身的教學經驗、同儕的幫忙，或是尋求書本中的知識，藉此造就自己的專業成長。在教師尋求解答的許多途徑中，他/她在數學史中所獲得的背景資料與相關知識，經過適當的剪裁與應用，可以讓數學教師更深入詮釋教科書中的數學知識，進一步轉化成適合的教材，讓學生在學習過程中，更全面地體會、欣賞與吸收老師所教與的數學知識，讓教師與學生同時獲得成長。

然而，如何將數學史「適當」應用於教學中，通常是數學教師不敢輕易嘗試的主因之一。以下，筆者就以圓錐曲線的教學為例，先簡單的陳述如何利用數學史的素材，來引起學生的學習動機；同時，介紹圓錐曲線的機械作圖方法，以做為教師在教學時的參考。

二、圓錐曲線教學的「引起動機」

從史料的觀點來看「圓錐截痕」，一般認為古希臘數學家對圓錐曲線的興趣，來自於「三大作圖題」中的「倍立方」問題。所謂倍立方問題，即如何為一個正立方體的體積加倍，而且維持形狀同樣為正立方體；換句話說，即是將一個邊長為 $$a$$ 的正立方體體積加倍，要作出一新的正立方體之邊長 $$x$$，滿足 $$x^3=2a^3$$。這個問題被希波克拉提斯歸結為作出兩線段長 $$a$$ 與 $$2a$$ 的兩個連續比例中項。也就是說，要作出兩線段 $$x,y$$ 滿足

$$\displaystyle\frac{a}{x}=\frac{x}{y}=\frac{y}{2a}$$

$$x$$ 即為所要求的新正立方體的邊長。希波克拉提斯的發現並沒有解決倍立方的問題，只是將問題轉換成作兩個比例中項 $$x$$ 與 $$y$$ 的問題。Menaechmus（約350B.C.）則引入新的曲線，即圓錐曲線來解決這個問題。將連比例式拆成兩個等式：$$\frac{a}{x}=\frac{x}{y}$$ 及 $$\frac{a}{x}=\frac{y}{2a}$$，從此，可得方程式 $$x^2=ay$$（或 是$$y=\frac{1}{a}x^2$$），及 $$xy=2a^3$$，因此，倍立方問題中所要求的 $$x$$ 與 $$y$$，即被轉換成求兩個圓錐曲線的交點了。

當然，在尺規作圖的限制中，圓錐曲線無法利用直尺和圓規作出。那麼，吾人究竟應該如何才能畫出拋物線、橢圓與雙曲線呢？

三、圓錐曲線的作圖

現在高中的圓錐曲線教學，通常直接從定義著手，而「定義」並沒有辦法告訴我們，滿足這樣定義的曲線長什麼樣子。通常，這需要數學教師進一步將「定義」轉化成圖形，如此，學生才能在學習第一步建立意義。

為此，筆者打算以荷蘭數學家F. van Schooten (1615-1660) 在詮釋笛卡兒的《幾何學》時，所設計的圓錐曲線作圖器為材料，提供給數學教師參考，可以讓學生實際作出儀器，利用自己作的機械工具作出圓錐曲線；同時，他們也可以將圓錐曲線的概念融合在學習單中，讓學生進一步利用這樣的作圖器將概念整合。

(１)橢圓作圖器

$$AB$$ 與 $$BE$$ 是兩根不一樣長度的棍子，在 $$B$$ 點連結；在 $$BE$$ 上取一點 $$D$$，使得 $$\overline{BD}=\overline{AB}$$。將 $$D$$ 點連接在一個軌道尺 $$L$$ 上，$$E$$ 點上放置一枝筆，當 $$D$$ 點沿著 $$L$$ 移動時，在 $$E$$點 的筆所畫出的軌跡就是一個橢圓。
除了讓學生實際作出這樣的儀器之外，還可以設計學習單讓學生去證明 $$E$$ 點所畫出的軌跡為一橢圓。荷蘭數學史家兼數學教育家Jan van Maanen曾設計過這樣的學習單，筆者將他的內容稍做修改，並運用讓學生容易作答的問題來引導。

(2)拋物線作圖器

將兩根軌道尺 $$GI$$ 與 $$GE$$ 垂直放置，讓 $$G$$ 點可以沿著 $$GE$$ 移動，並作一可變動角度的菱形 $$BFGH$$，將 $$B$$ 固定在紙面（平面）上，$$G$$ 固定在軌道尺 $$GI$$ 上，同時在對角線 $$F$$ 與 $$H$$ 上釘上一條軌道尺，讓菱形 $$BFGH$$ 在變動時，此軌道尺皆保持為菱形的對角線。在軌道尺 $$FH$$ 與 $$GI$$ 的交點 $$D$$ 放置一枝筆，當 $$G$$ 沿著 $$GE$$ 移動時，$$D$$ 點所畫出的軌跡即為拋物線。因為 $$\triangle{BHD}\simeq\triangle{GHD}$$，所以 $$\overline{BD}=\overline{GD}$$，即拋物線上的動點 $$D$$ 滿足到焦點 $$B$$ 的距離等於到準線 $$GE$$ 的距離。

(3)雙曲線作圖器

$$AD$$ 與 $$AF$$ 為兩根相同長度的軌道尺，交點為 $$A$$，其中 $$\overline{CD}=\overline{GF}$$；且作 $$\overline{DG}=\overline{CF}$$，$$D$$ 與 $$G$$ 以釘子釘在軌道尺上，使其當 $$A$$ 移動時可跟著旋轉。將 $$C$$ 與 $$F$$ 固定在紙面（平面）上，拉著兩根軌道尺使 $$A$$ 點移動，$$A$$ 點所畫出的軌跡即為雙曲線。
因為 $$\overline{AD}=\overline{AF}$$，$$\overline{CD}=\overline{GF}$$ 所以 $$\overline{AC}=\overline{AG}$$，故 $$\overline{AF}-\overline{AC}=\overline{CD}$$（固定長）。
即動點 $$A$$ 到兩焦點 $$C$$、$$F$$ 的距離差為一定值。

參考資料：

1. Van Maanen, Jan (1995).“Alluvial Deposits, Conic Sections, and Improper Glasses, or History of Mathematics Applied in the Classroom”inLearn From The Masters!